Bemerkung zur Axiomatik

16/09/2011 - 13:12 von Philo | Report spam
Ich kann mich über Diskussionen wie in 'Circulus vitiosus des Aol' nur
noch wundern.

Erstens: Es steht doch wohl völlig außer Frage, dass jeder auch nur
halbwegs intelligente Mensch weiß, was natürliche Zahlen sind. Das
weiß er auch dann, wenn ihm der Begriff selbst unbekannt ist. Diese
Zahlen werden seit Jahrhunderten und Jahrtausenden in ganz
"natürlicher", unverbildeter Weise benutzt.

Zweitens: Axiomensysteme (A-S) sind Menschenwerk, keine göttliche
Offenbarung und keine Naturgesetze, insbesondere sind sie aber keine
Spielerei nach dem Motto: "Schauen wir doch mal, was herauskommt, wenn
wir PI, PA und PO als Axiome annehmen." Axiomensysteme sind das
Ergebnis einer sehr fortgeschrittenen logischen Durchdringung eines
bestimmten Gebiets, sie stehen am ENDE einer Forschung, nicht am
Anfang. Sie dienen dem Zweck, alles Beweisbare soweit zu reduzieren,
dass das Nicht-Beweisbare übrig bleibt. Die Axiomatisiererei und die
Bourbakisierung der Mathematik ist daher eine sehr neue Erscheinung,
von der Geometrie mal abgesehen. Wie man ein solches System für ein
bestimmtes Gebiet aufbaut, ist unter anderem auch eine Frage des
persönlichen Geschmacks, vor allem aber dient es einem bestimmten
Zweck. Es sollen nàmlich alle in diesem Gebiet anerkannten Ergebnisse
aus dem A-S reproduzierbar sein. Diese Ergebnisse, jedenfalls die
wichtigsten davon, sind in einem historischen Sinn nicht Resultate des
Axiomensystems sondern sie sind bereits vorher vorhanden. Das A-S
bringt nur eine logische Ordnung in die ganze Angelegenheit. Das ist
wichtig und von Vorteil. Der Nachteil ist, dass man möglicherweise
Resultate bekommt, die unerwartet sind, ja die man so vielleicht gar
nicht haben möchte, Beispiele dafür liefern Mengenlehre oder
Maßtheorie. Solche Resultate sind nicht im eigentlichen Sinne
"Entdeckungen", man kann sie genausogut als Màngel des verwendeten
Axiomensystems bezeichnen. Ein altbekanntes Beispiel ist das klassisch
nichteuklidische Axiomensystem, das man durch Weglassen des
Parallelenaxioms erhàlt. Làsst man weitere Axiome fallen, so bekommt
man die merkwürdigsten Ergebnisse. Daran kann man sich erfreuen, man
schüttelt mit dem Kopf oder man nimmt es als das, was es ist: eine
logische Spielerei.

Was ich damit sagen will: Die wirkliche Quelle aller mathematischen
Entdeckungen sind die menschlichen Fàhigkeiten der inneren Anschauung
(der àußeren Welt), der Mustererkennung, des Vergleichens, des Wissens
darüber, was Logik und was Unlogik ist. Woher diese Fàhigkeiten
stammen (auch die zum Aufstellen von Axiomensystemen) wissen wir
nicht. Sie sind, wie sie sind. Man kann sie schulen, aber niemandem
vermitteln. Und niemand kann mir erzàhlen, er hàtte erst durch genaues
Studium von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen erkannt, was
Stetigkeit oder Kontinuum bedeutet. Umgekehrt ist es richtig: Die
innere Anschauung von Stetigkeit und Kontinuum und die damit
verbundenen Probleme bei Maßangaben beliebiger Strecken sind Quelle
der reellen Zahlen und des Grenzwertbegriffs. Die reellen Zahlen sind
ein für logische Operationen brauchbarer Ersatz für das anschaulich
gegebene Kontinuum. Dass sie es vollstàndig ersetzen können, ist eine
Behauptung, der nicht alle Mathematiker zustimmen.

Drittens: Es ist eine Unsitte in der neueren mathematischen
Ausbildung, die oben geschilderten Verhàltnisse zu ignorieren oder gar
auf den Kopf zu stellen. Und wer in einem Lehrbuch für Anfànger oder
in einer Anfàngervorlesung mit dem Axiomensystem der reellen Zahlen
beginnt und dann (notwendigerweise!) von hinten durch die Brust ins
Auge langt, um die nun "unbekannten" natürlichen Zahlen von dort zu
extrahieren, der stellt die Verhàltnisse auf den Kopf. Nicht im
logischen Sinne aber sonst in jedem Sinne. Ich habe auch noch keinen
Anfànger getroffen, der sich davon irgendwie belehrt fühlte. Höchstens
verwirrt oder für dumm verkauft. Üblicherweise überblàttert man den
Quatsch und kommt vielleicht gegen Ende seiner mathematischen
Ausbildung darauf zurück. Dann versteht man das auch und der eine oder
andere mag es sogar schàtzen. Danach traktiert er damit die eigenen
Studenten und beweist seine überlegene Bildung. In einem àlteren
Lehrtext der Fernuniversitàt Hagen heißt es dagegen einleitend (Zitat
nach Erinnerung): "Zwischen der wohltuenden Ungenaugigkeit der alten
Geometer und der verdorrten Genauigkeit der heutigen Stilisten haben
die Autoren einen Mittelweg gesucht." Stilismus, Feinsprecherei und
Eleganz haben ihren Platz, aber nicht dort, wo Neulingen grundlegende
Ideen vermittelt werden sollen.

Viertens: Das Problem von Herrn Mückenheim und vielleicht einigen
anderen besteht darin, dass sie stets die logische mit der anschaulich-
historischen oder sogar empirischen Ebene vermischen. Aber der
logische Verstand und, wie ich sagen möchte, der gesunde Verstand sind
zwei verschiedene Dinge. Über Sinn und Unsinn der Mengenlehre làsst
sich streiten, widerlegt in einem logischen Sinn ist sie nicht,
solange ihre Axiomatik nicht als logisch widersprüchlich nachgewiesen
wurde. LOGISCH widersprüchlich, nicht sinnlos, abwegig, überflüssig,
inhaltlich fehlerhaft oder was man sonst darüber denken mag. Das alles
ist seit Jahrzehnten bekannt und abgehandelt und zwar besser als hier.
Darüber ein endloses Getratsche zu fabrizieren ist ein netter
Zeitvertreib, sonst nichts. Und ich behaupte, dass Herr Mückenheim
insofern eine nützliche Funktion ausübt, nàmlich als Dauerunterhalter
und vielleicht auch ein wenig als Projektionsflàche zur
Selbstdarstellung.
 

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#1 H. Vetinari
16/09/2011 - 14:08 | Warnen spam
Philo wrote:
Das Problem von Herrn Mückenheim und vielleicht einigen
anderen besteht darin, dass sie stets die logische mit der anschaulich-
historischen oder sogar empirischen Ebene vermischen.



Das Problem von Mückenheim ist, dass sich bei seinen
Aussagen - auch in seinem "Mathematikbuch" - die Eigenschaften
"mathematisch" und "richtig" gegenseitig ausschließen.


Aber der logische Verstand und, wie ich sagen möchte,
der gesunde Verstand sind zwei verschiedene Dinge.



Und Mückenheims "Verstand" ein Drittes.

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