Berechnung von Zinsen

11/08/2015 - 22:09 von Manuel Oberhofer | Report spam
Guten Abend,

zur Berechnung von Zinsen wollte ich mir eine Exceltabelle machen, bin
aber leider nicht weitergekommen.

Gegeben sei Anfangswert A, Zinssatz B, Zinserhöhung pro Jahr C und
Steuersatz D.

Jedes Jahr werden die Zinsen ausbezahlt und wieder angelegt (Zinseszins).

Der Zinssatz B erhöht sich jedes Jahr um C Prozent. Jedoch nur für den
Anfangswert A, die wieder angelegte Summe startet wird erst mit B
verzinst und dann nach einem weiteren Jahr mit B plus Erhöhung C usw.

Zusàtzlich soll vor der Wiederanlage von den Zinsen noch die Steuer D
abgezogen werden.


Ist für mich recht kompliziert! Könnt ihr mir da helfen?


Danke und Gruß
Manuel
 

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#1 Stephan Gerlach
13/08/2015 - 00:12 | Warnen spam
Manuel Oberhofer schrieb:
Guten Abend,

zur Berechnung von Zinsen wollte ich mir eine Exceltabelle machen, bin
aber leider nicht weitergekommen.

Gegeben sei Anfangswert A, Zinssatz B, Zinserhöhung pro Jahr C und
Steuersatz D.



Zum besseren Verstàndnis erstmal ein Beispiel, unter der Annahme, daß
der Steuersatz D=0 ist (keine Steuern).

A = 100€
B = 0,03 (entspricht 3% Zinsen)
C = 0,01 (entspricht 1% Zinserhöhung)

Sei n das betreffende Jahr, G(n) das vorhandene Geld nach dem Jahr n.

Jedes Jahr werden die Zinsen ausbezahlt und wieder angelegt (Zinseszins).

Der Zinssatz B erhöht sich jedes Jahr um C Prozent. Jedoch nur für den
Anfangswert A, die wieder angelegte Summe startet wird erst mit B
verzinst und dann nach einem weiteren Jahr mit B plus Erhöhung C usw.



Nur damit ich das richtig verstehe:

Jahr n=0:

G(0) = 100€ (Anfangswert)

Jahr n=1:

Zu den 100€ gibt es 3% Zinsen dazu, also
G(1) = 1,03*100€ = 103€.

Jahr n=2:

Jetzt wird es etwas komplizierter.
Zu den 100€ gibt es 4% Zinsen dazu, zu den 3€ "nur" 3% Zinsen. Alles
addiert ergibt das Geld nach Jahr 2:
G(2) = 1,04*100€ + 1,03*3€ = 107,09€.

Entspricht dies in etwa deinem Modell?
Wenn ja, könnte man G(2) schreiben als
G(2) = 1,04*100€ + 1,03*3€
= (1,03+0,01)*100€ + 1,03*0,03*100€
= 1,03^2*100€ + 0,01*100€.

Jahr n=3:

Zu den 100€ gibt es 5% Zinsen dazu; soviel sollte klar sein(?).
Allerdings ist mir jetzt folgender Halbsatz nicht ganz klar:

"... die wieder angelegte Summe startet wird erst mit B verzinst und
dann nach einem weiteren Jahr mit B plus Erhöhung C usw..."

Was genau ist (beim Übergang von Jahr 2 zu 3) die "wieder angelegte Summe"?
Ist diese jetzt G(2)-G(0) = 7,09€ oder G(2)-G(1) = 4,09€?
Nach der Beschreibung würde ich eher 4,09€ vermuten.
In diesem Fall:
Es gibt noch 4% von 3€ dazu und 3% von 4,09€:
G(3) = 1,05*100€ + 1,04*3€ + 1,03* 4,09€ = 112,3327€.

Das einigermaßen "handlich" aufzuschreiben (wie bei G(2)), wird mir
jetzt zu kompliziert, so daß ich es vorziehe, die Differenzen
G(n)-G(n-1) zu betrachten.
Es gilt:

G(1)-G(0) = 0,03*G(0)

G(2)-G(1) = (0,03+0,01)* G(0)
+ 0,03 *[G(1)-G(0)]

G(3)-G(2) = (0,03+0,02)* G(0)
+ (0,03+0,01)*[G(1)-G(0)]
+ 0,03 *[G(2)-G(1)]

Um das Ganze übersichtlicher zu gestalten, kann man auch
H(0) := G(0)
H(n) := G(n)-G(n-1) für n>0
definieren, was die am Ende des Jahres n hinzugekommenen(!) Zinsen
beschreibt, und erhàlt:

H(1) = 0,03*H(0)

H(2) = (0,03+0,01)* H(0)
+ 0,03 * H(1)

H(3) = (0,03+0,02)* H(0)
+ (0,03+0,01)* H(1)
+ 0,03 * H(2)

H(4) = (0,03+0,03)* H(0)
+ (0,03+0,02)* H(1)
+ (0,03+0,01)* H(2)
+ 0,03 * H(3)

Allgemein erhàlt man folgende Rekursionsformel:

H(n) = Summe{k=0 bis n-1} (0,03+(n-k-1)*0,01)*H(k).

Etwas Rechnerei ergibt sogar eine Rekursionsformel für G(n):

G(n) = 0,01 * [Summe{k=0 bis n-2} G(k)] + 1,03*G(n-1).

Sieht mir nicht so aus, als das man hieraus eine explizite Formel für
G(n) bekommt[#].
Allerdings liefert die Formel tatsàchlich die richtigen Werte G(1), G(2)
und G(3), welche oben noch "manuell" berechnet wurden.


Allgemein (mit deinen Bezeichnungen A, B und C) ergibt sich für G(n)
folgende rekursive Bildungsvorschrift:

G(0) = A
G(n) = C * [Summe{k=0 bis n-2} G(k)] + (1+B)*G(n-1) für n >= 1.

Man sieht sehr schön: Wenn C=0 ist, dann kommt als Spezialfall die
übliche geometrische Folge für G(n) raus.

Zusàtzlich soll vor der Wiederanlage von den Zinsen noch die Steuer D
abgezogen werden.



Nur von den hinzugekommenen Zinsen G(n)-G(n-1)?
Falls ja, gehört da wohl oben einfach irgendwo ein Faktor (1-D) hinein.



[#] Die Formel für G(n) erinnert im weitesten Sinne an eine
Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge (n-tes Folgenglied als Summe
vorheriger Folgenglieder). Für die Fibonacci-Folge *gibt* es ja
bekanntlich eine explizite Bildungsvorschrift?!

Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

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