Bester Sch

06/05/2009 - 16:41 von Sebastian Starosielec | Report spam
Hallo,

Ich bin auf der Suche nach einem besten Schàtzer für folgendes Szenario.
Man verzeihe mir etwaige Ungenauigkeiten, ich komme aus der Physik-Ecke.

Ich habe zwei Ensemble A und B, normalverteilt mit (mu_A, sigma^2) und
(mu_B, sigma^2).
Für Stichproben (a_i) aus A und (b_i) aus B gleichen Umfangs N suche ich
nun den besten erwartungstreuen Schàtzer für das gemeinsame sigma^2.

Für |mu_A - mu_B| << sigma ließe sich das ganze ja durch den bekannten
(Lehrbuch-)Schàtzer (S) der Varianz für die gemeinsame Stichprobe
verwenden, aber für |mu_A - mu_B| >> sigma wird dann S offenbar von |mu_A
- mu_B|/2 dominiert.

Aus diesem Grund kann es also ohne weitere Annahme über mu_A - mu_B kein
"besten Schàtzer" geben.

Wie sàhe denn der beste Schàtzer für den Fall mu_A - mu_B = sigma aus ?

Viele Grüße,
Sebastian
 

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#1 earthnut
08/05/2009 - 22:58 | Warnen spam
Sebastian Starosielec wrote:

Hallo,

Ich bin auf der Suche nach einem besten Schàtzer für folgendes Szenario.
Man verzeihe mir etwaige Ungenauigkeiten, ich komme aus der Physik-Ecke.

Ich habe zwei Ensemble A und B, normalverteilt mit (mu_A, sigma^2) und
(mu_B, sigma^2).
Für Stichproben (a_i) aus A und (b_i) aus B gleichen Umfangs N suche ich
nun den besten erwartungstreuen Schàtzer für das gemeinsame sigma^2.



s^2 = 1/[2(N-1)] [ sum[x e A] (x - x_A)^2 + sum[x e B] (x - x_B)^2 ]
tuts, wobei x_A der Mittelwert von A und x_B der von B ist. s^2 ist
dann Erwartungstreu und hat Varianz sigma^4/(N-1).

Sei n=|A| und m=|B|, schàtze dann sigma_A^2 und sigma_B^2 mit dem
Standardschàtzer s_A^2 = 1/(n-1) (...) und s_B^2 = 1/(m-1) (...). Dann
ist (n-1)s_A^2/sigma^2 ~ CHI^2_(n-1) und (m-1)s_B^2/sigma^2 ~
CHI^2_(m-1), d. h. [(n-1)s_A^2 + (m-1)s_B^2]/sigma^2 ~ CHI^2_(n+m-2) und
daher s^2 = [(n-1)s_A^2 + (m-1)s_B^2]/(n+m-2) erwartungstreuer Schàtzer
für das gemeinsame sigma^2 mit Varianz 2sigma^4/(n+m-2). Das dürfte
schwer zu toppen sein.

Wie sàhe denn der beste Schàtzer für den Fall mu_A - mu_B = sigma aus ?



Sind A und B gleich groß (wie bei dir), kannst du mit x_Cn = x_An - x_Bn
eine neue Menge C von N(sigma,2sigma^2) verteilten Werten bilden. Davon
der Mittelwert ist N(sigma,2sigma^2/n) verteilt, wenn n die Größe der
Sets A, B und C ist. Das ist bei großer Varianz deutlich vorzuziehen.

Viele Grüße,
Sebastian

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