Bestimmung einer Potenzgleichung

04/11/2009 - 13:37 von Herbert Brandt | Report spam
Hallo, wer kann helfen bei folgendem Problem:

Für die Potenzfunktion f(x)= (x+b)^n + c sind folgende 3 Punkte gegeben :

P1(x1 I y1 ), P2(x2 I y2 ), P3(x3 I y3)

Es soll f(x) ermittlt werden, also die Werte für b, n und c !

Grafisch hat
b die Bedeutung einer Kurvenverschiebung in X-Achsenrichtung
c die Bedeutung einer Kurvenverschiebung in Y-Achsenrichtung und
n legt die Art der Kurve fest.

n El Z+, gerade : f(x) stellt Scheitelpunktsform einer verschobenen Parabel dar.

n El Z+, ungerade : f(x) stellt die Wendepunktsform einer verschobenen S-Kurve dar.

n El Z-, gerade : f(x) stellt die Asymptotenform einer verschobenen Y- achsensymm. Hyperbel mit
waagerechten und senkrechten Asymptoten dar.

n El Z-, ungerade : f(x)stellt die Asymptotenform einer verschobenen, Koordinatennullpunkt-
symmetrischen Hyperbel mit waagerechten und senkrechten Asymptoten dar.

n El Q+, gerade : f(x) stellt die Scheitelpunktsform von verschobenen Parabel-Ästen dar.

n El Q-, ungerade : f(x) stellt die Asymptotenform von verschobenen Hyperbelàsten dar.


Es ist also sehr nützlich, b,n und c zu bestimmen, um schnell über den Kurvenverlauf Bescheid zu wissen.

Man erhàlt die 3 Best.Gleichungen

(1) (x1 + b )^n + c = y1
(1´) c = y1 - (x1+b)^n
(2) (x2 + b )^n + c = y2

(3) (x3 + b )^n + c = y3


(1´) in (2) und (3) liefert zur Bestimmung von b und n :

(2´) (x2 + b )^n + y1 - (x1 + b )^n = y2

(3´) (x3 + b )^n + y1 - (x1 + b )^n = y3


HIER weiss ich nicht mehr weiter.


Besten Dank für Eure Hilfe im voraus.


Roland
 

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#1 Christian Gollwitzer
04/11/2009 - 18:21 | Warnen spam
Herbert Brandt schrieb:
Hallo, wer kann helfen bei folgendem Problem:
(1) (x1 + b )^n + c = y1
(1´) c = y1 - (x1+b)^n
(2) (x2 + b )^n + c = y2

(3) (x3 + b )^n + c = y3



Brauchst Du die Lösungen in analytischer Form? Willst Du das in ein
Programm einbauen? Dann wàre eine numerische Lösung vielleicht
einfacher. Ich habe starke Zweifel, dass man das analytisch auflösen
kann, denn es sieht mit den Unbekannten im Exponenten und im Offset
stark nach einer transzendenten Gleichung aus.

Evtl. kann man sie ja tatsàchlich mit der LambertW-Funktion lösen,
andererseits würde ich Numerik empfehlen, z.B. Newton-Verfahren

Christian

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