Beta(x,y) für y < 0

21/08/2007 - 15:08 von Andreas Messer | Report spam
Hallo,

ich beschàftige mich mit Feldtheorie für statistische Systeme und bin jetzt
auf ein Problem gestoßen. Bei meinen Rechnungen treten Integrale der Form

\int_0^\inf dt t^(3-e) (1+t^2)^(-a) e<<1

auf, die man bekanntlich als Beta-Fkt. schreiben kann:

= Beta( (4-e)/2, a - (4-e)/2)

. Nun ist es aber so, das ich auch den Fall a=1 habe, und damit das zweite
Argument der Beta-Fkt kleiner Null werden würde. Das Gleichheitszeichen gilt
aber nur für positive Argumente?! Ich hab ein bischen über
\phi^4-Feldtheorie gelesen, weil da àhnliche Integrale auftreten. Der Autor
des Buchs, weist zwar im Anhang drauf hin, das x,y >0 sein müssen, vorne im
Buch ignoriert er es aber. Im Internet hab ich dazu leider auch nichts
gefunden und von analytischer Fortsetzung hab ich (noch) nicht allzuviel
Ahnung. Es wàre super, wenn mir jemand dazu etwas sagen könnte oder evtl.
Referenz zum selber lesen geben könnte.

mfg
Andreas Messer
 

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#1 Roland Franzius
21/08/2007 - 16:10 | Warnen spam
Andreas Messer schrieb:
Hallo,

ich beschàftige mich mit Feldtheorie für statistische Systeme und bin jetzt
auf ein Problem gestoßen. Bei meinen Rechnungen treten Integrale der Form

\int_0^\inf dt t^(3-e) (1+t^2)^(-a) e<<1

auf, die man bekanntlich als Beta-Fkt. schreiben kann:

= Beta( (4-e)/2, a - (4-e)/2)

. Nun ist es aber so, das ich auch den Fall a=1 habe, und damit das zweite
Argument der Beta-Fkt kleiner Null werden würde. Das Gleichheitszeichen gilt
aber nur für positive Argumente?! Ich hab ein bischen über
\phi^4-Feldtheorie gelesen, weil da àhnliche Integrale auftreten. Der Autor
des Buchs, weist zwar im Anhang drauf hin, das x,y >0 sein müssen, vorne im
Buch ignoriert er es aber. Im Internet hab ich dazu leider auch nichts
gefunden und von analytischer Fortsetzung hab ich (noch) nicht allzuviel
Ahnung. Es wàre super, wenn mir jemand dazu etwas sagen könnte oder evtl.
Referenz zum selber lesen geben könnte.



Aber dir ist hoffentlich klar, dass das Integral

int_0^oo dx x^q /(1+x^2) nur für -1<q<1 existiert?
Ergibt dann pi/( 2 cos (pi q/2)).


Roland Franzius

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