Bewegung im Schwarzschildfeld

02/11/2013 - 18:02 von Peter Kramer | Report spam




Das Schwarzschildfeld ist ein Feld mit ràumlicher Kugelsymmetrie.
Zur Betrachtung eignen sich daher Kugelkoordinaten (r,teta,phi), wobei
wegen der Kugelsymmetrie keine der beiden Winkelkoordinaten ausgezeichnet
ist und wegen der Kugelsymmetrie keine Mischterme in der Metrik
auftauchen dürfen. Unter Verwendung der Kugelsymmetrie zur Lösung der
Vakuum-Feldgleichungen der ART erhàlt man die bekannte
Schwarzschildmetrik, welche die Raumzeit um eine punktuelle Masse
beschreibt.




ds^2 = (1-rs/r)*c^2*dt^2 -




- 1/(1-rs/r)*[dr^2 + (1-rs/r)*r^2*(d_teta^2 + sin(teta)^2*d_phi^2)]




mit:




dl(r,teta,phi)^2 = dr^2 + (1-rs/r)*r^2*(d_teta^2 + sin(teta)^2*d_phi^2)




= v^2*dt^2




erhàlt man die vereinfachte Form:




ds^2 = (1-rs/r)*c^2*dt^2 - 1/(1-rs/r)*v^2*dt^2




Mit der Bewegungsgeschwindigkeit




v^2 = (1-rs/r)^2*c^2 - (1-rs/r)*ds^2/dt^2




Es gibt da zwei Fàlle zu unterscheiden




1.) r>rs führt zu ds^2>0, zeitartige Metrik




2.) r</=rs führt zu ds^2<0, raumartige Metrik




Ein inertiales Bezugsystem in dem die Metrik pseudoeuklidisch Flach ist,
kann sich nur bei r->oo befinden. Ein ruhender Beobachter im
Schwarzschildfeld kann sich daher nur in diesem Bezugsystem befinden.
Für einen Beobachter in einem inertialen Bezugsystem ist die Realitàt die
gleiche, egal wo er sich in diesem Bezugsystem befindet, bis auf
Zeitverzögerungen bei der Beobachtung.




Das ist dann die wohlbekannte Metrik aus der SRT




ds^2 = c^2*dt^2 - dl^2




dl^2 = dr^2 + r^2*(d_teta^2 + sin(teta)^2*d_phi^2)




Nur in diesem Bezugsystem gilt




rs = 2GM/c^2




Durch eine geeignete Drehung-Koordinatentransformation kann man die
Bewegung nur auf einem Grosskreis betrachten, so dass wir dann nur eine
variable Winkelkoordinate "phi" haben, wohingegen teta=pi/2=konst.




Für die Bewegung auf einer Geodàten der Raumzeit in der
Schwarzschildmetrik erhalten wir dann die Bewegungsgleichungen




(dr/dt)^2 = c^2*rs/r*(1-rs/r)^2 + c^2*(1-rs/r)^3*2K/c^2




(dphi/dt)^2 = 1/r^2*(c^2*(1-rs/r)^3 - (1-rs/r)*(ds/dt)^2)




mit:




v^2 = (dr/dt)^2 + r^2*(dphi/dt)^2




K ist eine Integrationskonstante, welche sich dadurch bestimmt,
damit eine Geodàte von einem materiellen Teilchen durchlaufen werden kann
muss diese zeitartig sein, ds^2>0, dann muss K<c^2/2 sein.
Für Photonen, ds^2=0, K=c^2/2.




Für Photonen haben wir dann:




dr/dt = - c*(1-rs/r)




(dphi/dt)^2 = c^2/r^2*(1-(1-rs/r)^2)




v^2 = (dr/dt)^2 + r^2*(dphi/dt)^2 = c^2




Ein im Schwarzschildfeld inertial ruhender entfernter Beobachter
bei (r->oo) sieht:




dr/dt = -c




dphi/dt = 0




v^2 = c^2




Ein entfernter Beobachter sieht also das Photon für immer auf das SL
radial zufallen. Da aber für ihn ds^2>0, sieht er es nie hinein fallen.




Am EH für r=rs sieht ein Beobachter für das Photon




dr/dt = 0




dphi/dt = c^2/rs^2




Ein Beobachter am EH, welcher im entfernten inertialen Bezugsystem ruht,
sieht das Photon auf dem EH mit LG für immer um das SL kreisen.




Es gibt also keinen Beobachter in der realen Welt, ausserhalb des EH,
der das Photon ins SL fallen sieht.




Damit ein massives Teilchen, mit K<c^2/2 also K=b*c^2/2, b<1 einer
Geodàten folgen kann, muss diese zeitartig sein, also ds^2>0,
(ds/dt)^2=eps^2.




v^2 = c^2*(1-rs/r)^2 - (1-rs/r)*eps^2




(dr/dt)^2 = c^2*(1-rs/r)^2*(b + rs/r*(1-b))




(dphi/dt)^2 = 1/r^2*(c^2*(1-rs/r)^3*(1- b)- (1-rs/r)*eps^2)




Ein im Schwarzschildfeld inertial ruhender entfernter Beobachter
bei (r->oo) sieht:




v^2 = c^2 - eps^2 < c^2




(dr/dt)^2 = c^2*b; b<1




(dphi/dt)^2 = 0




Ein entfernter Beobachter sieht also das Teilchen mit v<c radial für
immer auf das SL zubewegen, allerdings nie hinein fallen.




Am EH für r=rs sieht ein Beobachter, welcher im entfernten Bezugsystem
ruht:




v^2 = 0




(dr/dt)^2 = 0




(dphi/dt)^2 = 0




Ein Beobachter am EH, welcher im entfernten inertialen Bezugsystem ruht,
sieht also ein massives Teilchen welches sich auf den EH zubewegt, am EH
verschwinden.


 

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#1 Peter Kramer
03/11/2013 - 07:33 | Warnen spam
Peter Kramer wrote in
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Im Bezugsystem eines frei fallenden Beobachters ist das SL frei fallend,
aufgrund der Eigenschaft das die Bewegung zweier Bezugsystem relativ
zueinander ist.



Man muss nun die Metrik ins Bezugsystem des frei fallenden Beobachters
transformieren. Am EH sind alle Ereignisse, also auch der freie Fall,
nicht mehr reversibel. Die Raum- und Zeitsymmetrie ist da gebrochen, in
allen inertialen Bezugsystemen.



Insofern merkt selbstverstàndlich auch ein frei fallender Beobachter die
Überquerung des EH in seinem eigenen Bezugsystem.



Der Freie Fall des SL ist ab da im Bezugsystem des Beobachters nicht mehr
umkehrbar.

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