Bewegung messen

26/02/2011 - 10:52 von Ralf . K u s m i e r z | Report spam
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Moin!

Vermutlich ist die Lösung ganz trivial.

Also: Es soll von einem einem starren Körper dessen Bewegungszustand
festgestellt werden. Der sollte also eine momentane Drehachse, eine
Winkelgeschwindigkeit um diese sowie eine momentane
Translationsgeschwindigkeit haben.

Die Frage ist, an wievielen Punkten man deren momemntane
Geschwindigkeiten messen muß, um diese Größen zu bestimmen. Es soll
vorausgesetzt werden, daß sich der Körper so langsam bewegt, daß
Beschleunigungsmessungen nicht möglich sind.

Lösungsweg:
Es wird anschaulich unterschieden zwischen einer Bewegung in der
Ebene, d. h. die Rotationsachse steht senkrecht auf der Ebene, und
einer allgemeinen Bewegung im Raum - in Klammern jeweils Anzahlen für
den allgemeinen Fall.

Die Bewegung des Körpers wird als Ganzes beschrieben durch 2 (2)
Komponenten der ràumlichen Lage der Achse, 1 (3) Komponenten der
Winkelgeschwindigkeit sowie 2 (3) Komponenten der
Translationsgeschwindigkeit, zusammen also durch 5 (8) Komponenten.

Man benötigt N Meßpunkte. Durch jede Punktmessung werden 4 (6) skalare
Bewegungskomponenten bekannt, nàmlich 2 (3) ràumliche Koordinaten der
Momentanposition, und 2 (3) Geschwindigkeitskomponenten. N Meßpunkte
liefern also 4*N (6*N) Bestimmungsgleichungen.

Um den Bewegungszustand des Körpers zu bestimmen, sind also

4*N (6*N) >= 5 (8)

Meßpunkte erforderlich.

N = 2 reicht in jedem Fall aus, denn 8 > 5 bzw. 12 > 8.

Offenbar ist die Lösung durch N = 2 sogar überbestimmt. Letzteres ist
eigentlich nicht überraschend: Durch die Bedingung, daß sich die
Meßpunkte auf einem starren Körper befinden, ist ihr Abstand
unverànderlich. Also können die Punkte gar nicht alle Freiheitsgrade
der Messung ausnutzen. Es sollte also eine Ausgleichsrechnung geben,
die die zu bestimmenden Größen optimiert.

Gibt es eine einfache geometrische Lösung zur Bestimmung von Achslage,
Winkel- und Translationsgeschwindigkeit, wenn man die beiden
Geschwindigkeitsvektoren zeichnerisch zur Vrfügung hat? Ich kommen
nàmlich gerade nicht drauf.


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus
 

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#1 Norbert Marrek
27/02/2011 - 01:10 | Warnen spam
Am 26.02.2011 10:52, schrieb Ralf . K u s m i e r z:
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Moin!

Vermutlich ist die Lösung ganz trivial.

Also: Es soll von einem einem starren Körper dessen Bewegungszustand
festgestellt werden. Der sollte also eine momentane Drehachse, eine
Winkelgeschwindigkeit um diese sowie eine momentane
Translationsgeschwindigkeit haben.

Die Frage ist, an wievielen Punkten man deren momemntane
Geschwindigkeiten messen muß, um diese Größen zu bestimmen. Es soll
vorausgesetzt werden, daß sich der Körper so langsam bewegt, daß
Beschleunigungsmessungen nicht möglich sind.

Lösungsweg:
Es wird anschaulich unterschieden zwischen einer Bewegung in der
Ebene, d. h. die Rotationsachse steht senkrecht auf der Ebene, und
einer allgemeinen Bewegung im Raum - in Klammern jeweils Anzahlen für
den allgemeinen Fall.

Die Bewegung des Körpers wird als Ganzes beschrieben durch 2 (2)
Komponenten der ràumlichen Lage der Achse, 1 (3) Komponenten der
Winkelgeschwindigkeit sowie 2 (3) Komponenten der
Translationsgeschwindigkeit, zusammen also durch 5 (8) Komponenten.

Man benötigt N Meßpunkte. Durch jede Punktmessung werden 4 (6) skalare
Bewegungskomponenten bekannt, nàmlich 2 (3) ràumliche Koordinaten der
Momentanposition, und 2 (3) Geschwindigkeitskomponenten. N Meßpunkte
liefern also 4*N (6*N) Bestimmungsgleichungen.

Um den Bewegungszustand des Körpers zu bestimmen, sind also

4*N (6*N)>= 5 (8)

Meßpunkte erforderlich.

N = 2 reicht in jedem Fall aus, denn 8> 5 bzw. 12> 8.

Offenbar ist die Lösung durch N = 2 sogar überbestimmt. Letzteres ist
eigentlich nicht überraschend: Durch die Bedingung, daß sich die
Meßpunkte auf einem starren Körper befinden, ist ihr Abstand
unverànderlich. Also können die Punkte gar nicht alle Freiheitsgrade
der Messung ausnutzen. Es sollte also eine Ausgleichsrechnung geben,
die die zu bestimmenden Größen optimiert.

Gibt es eine einfache geometrische Lösung zur Bestimmung von Achslage,
Winkel- und Translationsgeschwindigkeit, wenn man die beiden
Geschwindigkeitsvektoren zeichnerisch zur Vrfügung hat? Ich kommen
nàmlich gerade nicht drauf.


Gruß aus Bremen
Ralf




Das kann wohl nicht ganz stimmen.

Beispiel:

a) nur-rotierende Scheibe mit Durchmesser R, rotiert um Mittelpunkt M
mit Winkelgeschwindigkeit w. Messpunkte A und B diametral
gegenüberliegend senkrecht zur Visierlinie des Beobachters:


^
|
| v = R*w
|
A--M--B
|
| -v = -R*w
|
V

Der Beobachter misst für A die Geschwindigkeit -v und für B die
Geschwindigkeit v.

b) Rotierende Scheibe mit Durchmesser R, rotiert um Punkt N halb
zwischen Mittelpunkt und Rand mit derselben Winkelgeschwindigkeit w
wie in Fall a), und die Schiebe bewegt sich mit R*w/2 = v/2 auf den
Beobachter zu. Messpunkte sind dieselben, wie in Fall a).


^
|
| 3/2*R*w - v/2
|
A--N--M--B
|
| -R/2*w - v/2
|
V

Wieder wird für Punkt A die Geschwindigkeit -R/2*w - v/2 = -v
und für B die Geschwindigkeit 3/2*R*w - v/2 = v gemessen.


Du kannst also den Fall a) nicht vom Fall b) durch Messung an
2 Punkten unterscheiden.


Aloha,
Norbert

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