Beweis einer Ungleichung

30/01/2009 - 19:42 von Alexander Streltsov | Report spam
Gegeben seien zwei Funktionen f(h,T) und g(h,T), wobei ich sie in
Mathematica-Notation angebe:

f(h,T) = 1/9 \[ExponentialE]^(-((2 (2 + h))/
T)) (1 + 2 \[ExponentialE]^(6/T))^2 (1 + \[ExponentialE]^((2 h)/
T))^2

g(h,T) = 1/9 \[ExponentialE]^(-((2 (2 + h))/
T)) (2 + \[ExponentialE]^(6/T) +
3 \[ExponentialE]^((2 (1 + h))/T)) (3 \[ExponentialE]^(
2/T) + \[ExponentialE]^((2 h)/T) (2 + \[ExponentialE]^(6/T)))


Ich vermute, dass gilt:
f(h,T) > g(h,T) für alle endliche h,T > 0

Ich habe einen Test mit Mathematica für h und T aus [0.01; 10000] mit
Abstànden 0.01 durchgeführt und in diesem Bereich keine Abweichung gefunden.
Ein Beweis der obigen Ungleichung ist mir bisher nicht gelungen.

Hat jemand eine Idee, oder ein Gegenbeispiel?

mfg
Alex
 

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#1 Stefan Kirchner
30/01/2009 - 21:55 | Warnen spam
On Fri, 30 Jan 2009, Alexander Streltsov wrote:

Gegeben seien zwei Funktionen f(h,T) und g(h,T), wobei ich sie in
Mathematica-Notation angebe:

f(h,T) = 1/9 \[ExponentialE]^(-((2 (2 + h))/
T)) (1 + 2 \[ExponentialE]^(6/T))^2 (1 + \[ExponentialE]^((2 h)/
T))^2

g(h,T) = 1/9 \[ExponentialE]^(-((2 (2 + h))/
T)) (2 + \[ExponentialE]^(6/T) +
3 \[ExponentialE]^((2 (1 + h))/T)) (3 \[ExponentialE]^(
2/T) + \[ExponentialE]^((2 h)/T) (2 + \[ExponentialE]^(6/T)))


Ich vermute, dass gilt:
f(h,T) > g(h,T) für alle endliche h,T > 0

Ich habe einen Test mit Mathematica für h und T aus [0.01; 10000] mit
Abstànden 0.01 durchgeführt und in diesem Bereich keine Abweichung gefunden.
Ein Beweis der obigen Ungleichung ist mir bisher nicht gelungen.

Hat jemand eine Idee, oder ein Gegenbeispiel?



Ohne eine vollstàndige Lösung: zunàchst sollte man die Funktionen
vereinfachen, der Faktor 1/9 \[ExponentialE]^(-((2 (2 + h))/ T)) kommt in
beiden Funktionen vor und kann daher gekürzt werden. Außerdem kommt
überall 2/T vor, das sollte man substituieren.

Vielleicht hilft ausmultiplizieren und dann schauen, welche Summanden sich
wegheben, auch eine Fallunterscheidungen der Art T<1 bzw. T>=1 etc. könnte
nützlich sein. Hier jedenfalls der Anfang:


Mathematica 6.0 for Linux x86 (32-bit)
Copyright 1988-2007 Wolfram Research, Inc.

In[1]:= f[h_,T_] = (1 + 2 \[ExponentialE]^(6/T))^2 (1 +
\[ExponentialE]^((2 h)/ T))^2

6/T 2 (2 h)/T 2
Out[1]= (1 + 2 E ) (1 + E )

In[2]:= f[h,2/t]

3 t 2 h t 2
Out[2]= (1 + 2 E ) (1 + E )

In[3]:= g[h_,T_] := (2 + \[ExponentialE]^(6/T) + 3 \[ExponentialE]^((2 (1
+ h))/T)) (3 \[ExponentialE]^( 2/T) + \[ExponentialE]^((2 h)/T) (2 +
\[ExponentialE]^(6/T)))

In[4]:= g[h,2/t]

3 t (1 + h) t t h t 3 t
Out[4]= (2 + E + 3 E ) (3 E + E (2 + E ))

In[5]:= Expand[f[h,2/t]]

3 t 6 t h t 2 h t 3 t + h t
Out[5]= 1 + 4 E + 4 E + 2 E + E + 8 E +

6 t + h t 3 t + 2 h t 6 t + 2 h t
8 E + 4 E + 4 E



In[6]:= Expand[g[h,2/t]]

t 4 t h t 3 t + h t 6 t + h t
Out[6]= 6 E + 3 E + 4 E + 4 E + E +

t + (1 + h) t h t + (1 + h) t 3 t + h t + (1 + h) t
9 E + 6 E + 3 E



In[7]:= Expand[f[h,2/t]] - Expand[g[h,2/t]]

t 3 t 4 t 6 t h t 2 h t
Out[7]= 1 - 6 E + 4 E - 3 E + 4 E - 2 E + E +

3 t + h t 6 t + h t 3 t + 2 h t 6 t + 2 h t
4 E + 7 E + 4 E + 4 E -



t + (1 + h) t h t + (1 + h) t 3 t + h t + (1 + h) t
9 E - 6 E - 3 E





Gruß Stefan

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