Beweis f

17/08/2008 - 20:59 von Timo Johansson | Report spam
Hallo Gruppe,

ich habe meinen Sonntagnachmittag erfolglos mit dem Beweis einer
Ungleichung verbracht. Vielleicht hat hier ja jemand eine Idee.

Seien m1, ... , mk reelle Zahlen aus [0,1].

Zu zeigen ist: Es gilt

2 - 2 * Prod_{i=1}^k mi - 2 * Prod_{i=1}^k (1-mi)

1 - Prod_{i=1}^k (1 - (2*mi*(1-mi)))



für k >= 2.

Dabei bezeichnet Prod_{i=1}^k mi das Formelzeichen für das Produkt von
i=1 bis 3, also z.B.

Prod_{i=1}^3 mi = m1 * m2 * m3.

Für den Fall k=2 kann man mit der binomischen Formel tricksen, für alle k
finde ich keinen Ansatz... Vielleicht findet hier ja jemand nen Trick.
Bin für jeden guten Rat dankbar ;-)

Viele Grüsse,
Timo
 

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#1 Timo Johansson
18/08/2008 - 11:47 | Warnen spam
Am Sun, 17 Aug 2008 18:59:09 +0000 schrieb Timo Johansson:
Seien m1, ... , mk reelle Zahlen aus [0,1].

Zu zeigen ist: Es gilt

2 - 2 * Prod_{i=1}^k mi - 2 * Prod_{i=1}^k (1-mi)
1 - Prod_{i=1}^k (1 - (2*mi*(1-mi)))





für k >= 2.



Die Ungleichung ist àquivalent zu

1 + Prod_{i=1}^k ((1 - mi)² + mi²)
2 Prod_{i=1}^k (1 - mi) + 2 Prod_{i=1}^k mi



Wenn man nun ausnutzt dass

Prod_{i=1}^k ((1 - mi)² + mi²) >
Prod_{i=1}^k ((1 - mi)² + Prod_{i=1}^k mi²

dann kann man zeigen dass

1 + Prod_{i=1}^k ((1 - mi)² + Prod_{i=1}^k mi²
= 2 Prod_{i=1}^k (1 - mi) + 2 Prod_{i=1}^k mi



Denn diese Ungleichung ist àquivalent zu

1 >= 2 Prod_{i=1}^k (1 - mi) - Prod_{i=1}^k ((1 - mi)²
+ 2 Prod_{i=1}^k mi - Prod_{i=1}^k mi²

= 2 Prod_{i=1}^k (1 - mi) - Prod_{i=1}^k ((1 - mi)


+ 2 Prod_{i=1}^k mi - Prod_{i=1}^k mi

= Prod_{i=1}^k (1 - mi) + Prod_{i=1}^k mi



Dass die Ungleichung

1 >= Prod_{i=1}^k (1 - mi) + Prod_{i=1}^k mi

gilt sieht man leicht aufgrund der wahrscheinlichkeitstheoretischen
Interpretation, denn die mi sind die Wahrscheinlichkeiten unabhàngiger
Ereignisse.

Ich hoffe ich habe das jetzt nicht zu überhastet gemacht und dumme Fehler
eingebaut...! Sieht einer noch einen kürzeren Beweis?

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