Beweis für die Abzählbarkeit von R

10/10/2008 - 16:54 von Olaf Gladis | Report spam
Erstmal möchte ich euch alle begrüßen und danken, dass ihr diesen
Beitrag lest. Ich weiß, dass es einen Gegenbeweis gibt, aber dieser
hat mich nicht wirklich überzeugt. Da dieser erst im Unendlichen ein
Zahl konstruiert, die es noch nicht geben soll. Man könnte ja auch
sagen, man schafft es nie eine solche Zahl fertig zu stellen.

Ich habe zwei Beweisansàtze und ich freue mich auf jede Kritik. In
meinem jetzigen Masterstudium (Informatik) habe ich jetzt zum dritten
mal von der Überabzàhlbarkeit der Menge R gehört. Jedes vorherige Mal
konnten meine Ansàtze entkràftigt werden. Nun habe ich aber die
Schwàchen der vorherigen Ansàtze beseitigt und möchte wissen, was ihr
davon haltet.


Ansatz 1.

Lemma: Für jedes endliche Alphabet ist die Menge derer Worte
abzàhlbar. (Ich weiß leider nicht wer das gesagt hat. Es steht so im
meinem Skript und auch Wikipedia sagt das. Und ja ich weiß darauf
sollte man sich nicht unbedingt verlassen)

Wenn Das gilt, dann nehmen wir als Alphabet A = {'0', '1', '2', '3',
'4', '5', '6', '7', '8', '9', '.'}.
Nach dem Lemma müssten jetzt auch die Menge alle Worte A* abzàhlbar
unendlich sein. Jedes Wort, dass nur einen oder keine Punkt(e) besitzt
ist kann als Dezimaldarstellung einer Reellen Zahl gesehen werden.
(Denn ganze Zahlen Z sind eine Teilmenge von Q und diese sind eine
Teilmenge von R)

In A* sind alle möglichen Kombinationen in beliebiger Lànge von den
Elementen des Alphabets.

Daher ist auch R eine Teilmenge von A*. Weil A* aber abzàhlbar
unendlich ist, muss auch R abzàhlbar unendlich sein.



Ansatz 2

Dieser Ansatz ist dem Ansatz für den Beweis der abzàhlbarkeit von Q
nachempfunden.

Bildlich wàre diese Sache viel einfacher zu zeigen aber ich versuche
es trotzdem.


Man kann die Rellen Zahlen ja auch so sortieren:

0 0.1 0.2 ... 0.9 0.01 .. 0.09 0.11 .. 0.19 0.21 ..
0.29 0.91 .. 0.99 0.001 .. 0.009 ...

1 1.1 1.2 ... 1.9

2 2.1 2.2 ...

3 3.1 3.2 ...

4 4.1

.
.
.

Die erste Zeile beginnt mit einer Null. Wenn man ihr weiter nach
rechts folgt, kommen zuerst die Zehntel (0.1 bis 0.9). Danach folgen
die Hundertstel hinzuaddiert wobei die Folgen von vorher nicht wieder
vorkommen dürfen. (Nach 0.09 kommt nicht 0.10 sondern 0.11)

Die zweite Achse (die nach unten geht) enthàlt die Natürlichen Zahlen
und wird immer mit dem Wert der ersten Zeile addiert. (Siehe Tabelle)

Jetzt hat man eine 2 Dimensionale Darstellung / Sortierung der Reellen
Zahlen. Nun kann man Ähnlich wie bei dem Beweis von Q die Zahlen
abzàhlen:

An erster Stelle kommt die Null, dann die 0.1, dann die 1 und danach
die 2.

0, 0.1, 1, 2, 1.1, 0.2, 0.3, 1.2, 2.1, 3, 4, ... usw.

Wenn jetzt noch die dazugehörigen negativen Zahlen verlangt werden,
schreibt man halt nach jeder positiven, auch eine negative Zahl.


Wenn ich mir diese Sortierung ansehe, denke ich, dass schonmal jemand
vor mir auf soetwas gekommen sein muss, oder? Wo liegt mein Fehler?
Oder ist das gar ein gültiger Beweis?

Vielen Dank für eure Kritik und Hinweise.
 

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#1 Martin Fuchs
10/10/2008 - 17:03 | Warnen spam
Olaf Gladis wrote:
Ich habe zwei Beweisansàtze und ich freue mich auf jede Kritik. In
meinem jetzigen Masterstudium (Informatik)



Wo? Auf einer Baumschule?


In A* sind alle möglichen Kombinationen in beliebiger Lànge von den
Elementen des Alphabets.



Richtig, von _beliebiger_ Lànge. Beliebig != unendlich


Daher ist auch R eine Teilmenge von A*.



Ach ja? Dann gib doch bitte mal das Wort aus A* an, welches
Wurzel(2) darstellt.


mf

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