Beweis gesucht

13/08/2008 - 17:54 von hauke.krueger | Report spam
Hallo Mathematiker,

ich habe folgendes Problem:

Gesucht ist lim(n->infinity) (Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2))^(1/n)

mit der Gamma-Funktion Gamma(n). Ich habe mir folgendes überlegt, wobei
ich ausnutze, dass n >> 3 und deswegen Gamma(n) monoton steigend ist:

I: Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2) > Gamma((n)/2)/Gamma(n/2) = 1
II: Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2) < Gamma((n+2)/2)/Gamma(n/2)
= n/2!/(n/2-1)! = n/2

Somit gilt: 1 < Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2) < n/2
Mit

III: lim(n->infinity) n^(1/n) = 1

gilt, dass auch

lim(n->infinity) (Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2))^(1/n) = 1.

Ist das so nachvollziehbar oder übersehe ich irgendwas? Ich bin ja nur
Ingenieur.. Für III habe ich auch keinen Grenzwertsatz gefunden.

Vielen Dank für Kommentare vorab und viele Grüße,

Hauke
 

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#1 Hendrik van Hees
13/08/2008 - 18:01 | Warnen spam
hauke.krueger wrote:

Hallo Mathematiker,

ich habe folgendes Problem:

Gesucht ist lim(n->infinity) (Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2))^(1/n)

mit der Gamma-Funktion Gamma(n). Ich habe mir folgendes überlegt,
wobei ich ausnutze, dass n >> 3 und deswegen Gamma(n) monoton steigend
ist:

I: Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2) > Gamma((n)/2)/Gamma(n/2) = 1
II: Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2) < Gamma((n+2)/2)/Gamma(n/2)
= n/2!/(n/2-1)! = n/2

Somit gilt: 1 < Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2) < n/2
Mit

III: lim(n->infinity) n^(1/n) = 1

gilt, dass auch

lim(n->infinity) (Gamma((n+1)/2)/Gamma(n/2))^(1/n) = 1.

Ist das so nachvollziehbar oder übersehe ich irgendwas? Ich bin ja nur
Ingenieur.. Für III habe ich auch keinen Grenzwertsatz gefunden.



Sieht gut aus. Für III würde ich sagen, Du betrachtest

f(n)=ln[n^(1/n)]=1/n ln n,

und dafür kannst Du die de L'Hospitalsche Regel anwenden
(Typ: "\infty/\infty"). Es ist also

lim f(n)=lim (1/n)/1=0

und folglich wegen der Stetigkeit der exp-Funktion

lim n^{1/n}=exp(0)=1.

Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
Phone: +49 641 99-33342 Justus-Liebig-Universitàt Gießen
Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/

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