Beweis zur Abschätzung eines Terms

12/04/2010 - 12:29 von Christoph Conrad | Report spam
Hallo!

Ich habe eine Frage zu der Abschàtzung eines Terms nach unten.

prod[1..n](a_i) bedeute a_1 * a_2 * a_3.. * a_n.
sum[1..n](a_i) bedeute a_1 + a_2 + a_3.. + a_n.

Wie zeigt man möglichst einfach, dass

1 - prod[1..n]( 1 - ( e_i * a_i ) ) sum[1..n]( e_i * a_i )
1 - prod[1..n]( 1 - ( a_i ) ) sum[1..n]( a_i )

mit 0 <= e_i, a_i <= 1.

Für n = 2 ist das einfach, ich bràuchte aber einen allgemeinen Beweis.

Danke für eure Tipps!

Freundliche Grüße,
Christoph
 

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#1 Roland Franzius
12/04/2010 - 15:14 | Warnen spam
Christoph Conrad schrieb:
Hallo!

Ich habe eine Frage zu der Abschàtzung eines Terms nach unten.

prod[1..n](a_i) bedeute a_1 * a_2 * a_3.. * a_n.
sum[1..n](a_i) bedeute a_1 + a_2 + a_3.. + a_n.

Wie zeigt man möglichst einfach, dass

1 - prod[1..n]( 1 - ( e_i * a_i ) ) sum[1..n]( e_i * a_i )
1 - prod[1..n]( 1 - ( a_i ) ) sum[1..n]( a_i )

mit 0 <= e_i, a_i <= 1.

Für n = 2 ist das einfach, ich bràuchte aber einen allgemeinen Beweis.




Rechts steht das arithmetische Mittel mit Gewichten a_i/sum_k a_k.

Links steht eine ein Gewichten a_i und Messwerten a_i vollstàndig
symmetrische Funktion. Es reicht also für die Induktion den Beweisfall
n=2 simpel auf den Fall zu verallgemeinern, in dem n=1 -> n=2 für ein
Paar durchgeführt wird, in dem n=1 schon ein Mittel über eine beliebig
große Menge von Paaren (w_i,a_i) ist.


Roland Franzius

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