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Beweisen Sie: 1+1=2

17/10/2016 - 09:18 von Mike Megapleite | Report spam
Glaube ich sonst net.
 

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#1 Detlef Müller
17/10/2016 - 12:01 | Warnen spam
Am 17.10.2016 um 09:18 schrieb Mike Megapleite:
Glaube ich sonst net.



Ja, das ist eine Beliebte Forderung um Mathematiker zu veralbern,
die scheinbar auf Trivialitàten herum reiten.

Aber auch ein gutes Beispiel dafür, dass scheinbar triviale
Aussagen vom Fragesteller gar nicht wirklich verstanden werden,
sondern es sich die Schule hier einfach gemacht hat, indem zunàchst
das "kleine 1+1" halt auswendig zu lernen ist (was für das
praktische Rechnen natürlich unverzichtbar ist), die Notwendigkeit
oder auch nur Möglichkeit einer tieferen Begründung aber spàter nie
erwàhnt wird.

Eine Rückschau "Was sind die Natürlichen Zahlen" (etwa bei der
Erweiterung der Zahlbereiche) findet nicht statt.

Aber das können wir hier (ansatzweise) nachholen, am Beispiel
der Forderung aus dem Topic:

Beweisen Sie: "1+1=2"

Diese Aussage bezieht sich (vermutlich) auf natürliche Zahlen.
Um sie zu beweisen, muss man zunàchst klar stellen, für welche
Objekte die Zeichen "1" und "2" stehen und wie genau die
Verknüpfung "+" definiert wird.

Um etwas für Natürliche Zahlen exakt zu definieren, müssen wir
natürlich wissen, was die Natürlichen Zahlen sind oder wenigstens,
welche grundlegenden Eigenschaften sie haben.

Zunàchst formulieren wir also die Eigenschaften, welche die
natürlichen Zahlen charakterisieren, diese sind folgende
"Peano Axiome" [1].
Hier etwas moderner mit 0 beginnend:

i) 0 ist eine natürliche Zahl.
ii) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n',
der ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
iii) Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
iv) Zwei verschiedene natürliche Zahlen n und m besitzen stets
verschiedene Nachfolger n' und m'.
v) Enthàlt eine Menge X die Zahl 0 und mit jeder natürlichen
Zahl n auch stets deren Nachfolger n', so enthàlt X bereits
alle natürlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst eine Teilmenge
der natürlichen Zahlen, dann ist X gleich der Menge der
natürlichen Zahlen.)

Die Idee ist, dass jede Menge IN, die diesen Bedingungen genügt,
geeignet ist, um z.B. die Zahlentheorie darauf aufzubauen.
Es ist damit noch keine konkrete Menge IN angegeben (deshalb ist
es nicht wirklich richtig zu sagen, die Peano Axiome definierten
die natürlichen Zahlen), dies geschieht ebenfalls in [1].

Die Axiome i) bis v) erlauben uns nun, die in der zu beweisenden
Behauptung vorkommenden Objekte 1 und 2 konkret zu definieren:
0 haben wir wegen i). Wir definieren nun (mit (ii)):

(*) 1 := 0' und (**) 2:= 1'

Nun fehlt noch die genaue Bedeutung von "+" fest zu legen, also
die Definition der Addition klar zu stellen.
Die wird wie folgt rekursiv definiert (wie in [1]):

a) n + 0 := n
b) n + m' := (n + m)'

Nun ist alles beisammen für den gefragten Beweis:

Beh.: 1 + 1 = 2
Bew.:
1 + 1 = 1 + 0' (nach (*))
= (1+0)' (nach (b))
= 1' (nach (a))
= 2 (nach (**))
qed

Als Übung könnte der Beweis von
0+2=2
dienen (was natürlich nicht direkt aus a) folgt).

Peanos ursprünglichen Axiome starteten mit
"i) 1 ist eine natürliche Zahl" und hatten überall,
wo hier eine 1 steht, halt eine 0. Das ist Zunàchst nur
eine Vertauschung von Symbolen, die natürlich an der
Struktur nichts àndert. Nur wird spàter, wenn die Addition
definiert wird, die 1 anders behandelt, was der eigentliche
Unterschied ist (will man alle verwirren, könnte man die 1 wie
in a) als Neutrales der Addition, also n+1 := n definieren,
das ist natürlich nicht nett).

Auch heute wird oft die 1 als erste natürliche Zahl genommen.
In diesem Fall wird man die Addition so definieren (das ist
der über simples "Suchen und Ersetzen 1 <-> 0 hinaus gehende
Unterschied):

a') n + 1 := n'
b') n + m' := (n + m)'

In dem Falle wàre 1+1 = 1' = 2 direkt aufgrund der Definition
von "+" und man würde die Behauptung "trivial" (im Sinne von [2])
nennen, d.h. man verweist nur auf Definitionen ohne irgendwelche
Folgerungen zwischendurch.

Dann hoffe ich mal, dass Du diese Erkenntnis in Geld umsetzen
und Dir dann einen Real-Name leisten kannst :)

Gruß,
Detlef

[1] http://www.mathepedia.de/Axiomensys...Peano.aspx
[2] "Das ist o.B.d.A. trivial!",
Prof. Dr. Albrecht Beutelspacher,
ISBN: 978-3-8348-0086-2 (Print)
978-3-8348-9075-7 (Online)

Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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