Bijektionen auf echte Teilmengen

15/12/2009 - 12:30 von Ralf Goertz | Report spam
Ist es eigentlich einfach möglich, Dedekinds Definition unendlicher
Mengen als solche, zu denen es eine Bijektion mit einer echten Teilmenge
gibt, auf P(IR) anzuwenden, oder auf P(P(IR))? Für IN und IP ist es ja
einfach

f(n)=2*n bzw g(x)=exp(x)

Im ersten Fall hilft die Abzàhlbarkeit, im zweiten Stetigkeit und
Monotonie. Für IN ist es auch einfach möglich, dass das Komplement der
echten Teilmenge endlich ist: f'(n)=n+1. Bei IR schaffe ich das auf die
Schnelle nicht mehr, und bei P(IR) habe ich im Moment überhaupt keine
Idee, wie eine Bijektion auf eine echte Teilmenge (egal wie deren
Komplement ist) aussehen könnte.

Die Frage ist also: kann man bijektive Funktionen g' und h

g' : IR -> IR\X (mit |X| \in IN\{0})

h : P(IR) -> P(IR)\X (mit nichtleerem X)

direkt angeben, oder benötigt man dazu vielleicht AC?
 

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#1 Helmut Richter
15/12/2009 - 12:39 | Warnen spam
On Tue, 15 Dec 2009, Ralf Goertz wrote:

Die Frage ist also: kann man bijektive Funktionen g' und h

g' : IR -> IR\X (mit |X| \in IN\{0})



g'(x) = x+1 für x aus N
g'(x) = x sonst

0 ist nicht im Bild, also X = {0}, |X| = 1

h : P(IR) -> P(IR)\X (mit nichtleerem X)



h(x) = {n+1} falls x = {n} für ein n aus N
h(x) = x sonst

{0} ist nicht im Bild.

Helmut Richter

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