Binomialentwicklung für nicht natürliche Exponenten

25/04/2014 - 12:10 von Udo | Report spam
Hallo,

ich bitte um Hilfe, da ich mit Wikipedia und den Seiten unter Google nicht wirklich weiterkomme.
Wie entwickelt man den Ausdruck (a+b)^1/2?

Die Binomialentwicklung für (a+b)^n lautet:

(von k=0 bis n)Summe[(n über k)*a^(n-k)*b^k] dies ist mir für Exponenten aus den natürlichen Zahlen soweit klar.

Aber wie lauten die Binomialkoeffizienten für Exponent 1/2?

(1): Binomialkoeffizient für k=0 lautet (1/2 über 0) = 1

(2): Binomialkoeffizient für k=1 lautet: (1/2 über 1) =
(1/2)! /( (1!)*(1/2-1)!) = 1 ??

(3): Binomialkoeffizient für k=2 lautet: (1/2 über 2) =
(1/2)! /( (2!)*(1/2-2)!) = (1/2)! /( 2! *(-3/2))! = ??

Ich finde das nirgendwo für mich verstàndlich erklàrt.
Wàre jemand so nett und würde mir das zeigen bzw. einen Link angeben, wo ich das (hoffentlich) verstehe.

Ich frische gerade mein (drei Jahrzehnte zurück liegendes) Mathewissen auf
und find in meinem alten Lehrbuch dazu den Satz des Autors:
"Das Berechnen der Binomialkoeffizienten sei dem Leser überlassen." :-))

(Die Trivialitàten, die Autoren oft voraussetzen, kosten mich meist Stunden).

Wàre für Hilfe sehr dankbar.
Freundliche Grüße
Udo
 

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#1 Christian Gollwitzer
25/04/2014 - 12:23 | Warnen spam
Hallo Udo,

Am 25.04.14 12:10, schrieb Udo:
ich bitte um Hilfe, da ich mit Wikipedia und den Seiten unter Google nicht wirklich weiterkomme.
Wie entwickelt man den Ausdruck (a+b)^1/2?

Die Binomialentwicklung für (a+b)^n lautet:

(von k=0 bis n)Summe[(n über k)*a^(n-k)*b^k] dies ist mir für Exponenten aus den natürlichen Zahlen soweit klar.



statt (n über k) in n!/((n-k)!*k!) zu übersetzen, kann man einen der
beiden Faktoren im Nenner auch kürzen und erhàlt
n*(n-1)*(n-2)*...(n-k+1) / (1*2*3*...*k)
Das kann man auch für gebrochene n auswerten. Für Dein Beispiel

Aber wie lauten die Binomialkoeffizienten für Exponent 1/2?




k=1: 0.5
k=2: 0.5*(-0.5)/(1*2)=-1/8
k=3: 0.5*(-0.5)*(-1.5) / (1*2*3) = 1/16
k=4: 0.5*(-0.5)*(-1.5)*(-2.5) / (1*2*3*4) = -5/128

etc.

Und somit

sqrt(1+x)=(1+x)^(1/2) = 1 + 1/2*x - 1/8*x^2 + 1/16*x^3 - 5/128*x^4 + O(x^5)

was sich auch mit wolframalpha deckt:
http://www.wolframalpha.com/input/?...281%2Bx%29^%281%2F2%29%29

Christian

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