Bode-Diagramm: Lead/Lag+Grenzfall

27/08/2007 - 21:50 von Norbert Stuhrmann | Report spam
Hallo,

Ich habe ein Problem mit Bode-Diagrammen. In der Vorlesung gab es
eine Klassifikation von System-Elementen mit folgenden
Uebergangsfunktion:
Lead: 1+iwT
Grenzfall Lead: iwT
Lag: 1/(1+iwT)
Grenzfall Lag: 1/iwT

Was ist mit Grenzfall gemeint? Grenzfall fuer grosse Omega? In der
Vorlesung wurde Grenzfall Lead aber auch fuer kleine Omega verwendet?

In einer anderen Quelle finde ich folgende Angabe:

(1+s/w_z)/(1+s/w_n)

w_n/w_z > 1 : Lead
w_n/w_z < 1 : Lag

Im Bode-Magnituden-Diagramm ergibt das zwei "Knicke", waehrend die
erstere Definiton nur einen Knick enthaelt (bzw. keinen im
"Grenzfall"). Was ist denn nun richtig?

Nun versuche ich in folgendem Bode-Diagramm die entsprechenden
Elemente zu identifizieren:
http://www.vorhilfe.de/uploads/foru...3-n001.png
Nach ersterer Definition waere das Grenzfall lead bis 0.1, lead bis
10 und lag ab 100. Ist das so korrekt?

Gruesse,

Norbert
 

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#1 Roland Damm
27/08/2007 - 23:10 | Warnen spam
Moin,

Norbert Stuhrmann schrub:

Ich habe ein Problem mit Bode-Diagrammen. In der Vorlesung gab
es eine Klassifikation von System-Elementen mit folgenden
Uebergangsfunktion:



Die Begriffe kenne ich auch nicht, aber ich rate mal die Aussage
(und àndere mal die Reihenfolge):

Grenzfall Lead: iwT



Lead = führend. Der Ausgang des Systems erreicht sein Maximum
schon, wenn der Eingang erst noch am Steigen ist. Wobei man
immer der Einfachheit halber an sin-Funktionen als Signal denken
sollte, alles andere làsst sich sowieso daraus zusammensetzen.
Dieses Ding ist ein Differenzierer.

Lead: 1+iwT



In den Bereichen, wo wT (w meint sicher omega, also die
Kreisfrequenz) >> 1 ist , ist dieses Ding gleich dem Grenzfall
Lead siehe oben. Vereinfacht kann man sagen, dieses Ding verhàlt
sich wie ein direkter Umsetzer (P-Glied) für die Fàlle, wo wT<1
ist und wie ein Differenzierer, wenn wT>1 ist. Natürlich gibt es
einen Übergangsbereich.

Grenzfall Lag: 1/iwT



Das ist ein Integrator. Lag = Hinterher hàngen. Der Ausgang
erreicht sein Maximum erst dann, wenn der Eingang schon wieder
kràftig am Fallen ist.

Lag: 1/(1+iwT)



Wie oben, wirkt wie ein Integrator für den Fall, dass wT >> 1
oder vereinfacht einfach nur >1 ist, an sonsten wie ein
einfacher proportionaler Umsetzer (P-Glied). Sowas nennt man
auch Tiefpass 1. Ordnung der nur Frequenzen unterhalb einem
w=1/T durchlàsst.

Was ist mit Grenzfall gemeint? Grenzfall fuer grosse Omega? In
der Vorlesung wurde Grenzfall Lead aber auch fuer kleine Omega
verwendet?



Ist dann zulàsstg, wenn T sehr groß ist.

In einer anderen Quelle finde ich folgende Angabe:

(1+s/w_z)/(1+s/w_n)



w_z und w_n sind Kerhwerte der Teitkonstanten von oben. Nicht
charakteristische Zeitkonstanten sondern Grenzfrequenzen nennt
man sowas.

Diese Gleichung ist einfach nur das Produkt aus dem allgemeinen
Lead und dem allgemeinen Lag von oben. Also ein noch
allgemeinerer Fall.

w_n/w_z > 1 : Lead
w_n/w_z < 1 : Lag

Im Bode-Magnituden-Diagramm ergibt das zwei "Knicke", waehrend
die erstere Definiton nur einen Knick enthaelt (bzw. keinen im
"Grenzfall"). Was ist denn nun richtig?



Lasse w_n/w_z gegen unendlich oder gegen Null gehen und es bleibt
nur noch ein Knick übrig.

Nun versuche ich in folgendem Bode-Diagramm die entsprechenden
Elemente zu identifizieren:



http://www.vorhilfe.de/uploads/foru...3-n001.png
Nach ersterer Definition waere das Grenzfall lead bis 0.1, lead
bis 10 und lag ab 100. Ist das so korrekt?



Steigt an mit 2. Ordnung, dann Knick bei 0.1, jetzt Anstieg 1.
Ordnung, dann Knick nach unten bei 2..3 und folgend kein
Anstieg. Jetzt Doppelknick zwischen 10 und 100, danach Abfall 2.
Ordnung.

Ordnung: Z.B. iwT bringt einen Anstieg 1. Ordnung. 1/(iwT)^2
bringt einen Abfall 2. Ordnung. System Verstanden? Eine Ordnung
macht eine Flankensteilheit von 6dB/Oktave oder 20dB/Dekate aus.

Hier heißt das also, dass bei sehr geringen Frequenzen erst mal
nur eine 2. Potenz über dem Bruch dominiert. Also eine Form
F1=(wT1)^2
Mit T1= irgendwas

Ab einem Omega von 0.1 kommt unter dem Bruch eine Potenz dazu.
Also:
F2 = F1/1+iwT2 mit T2 (weil 10 = 1/0.1)

Ab 2 noch ein Knick nach unten:
F3 = F2/(1+iwT3) mit T3 ~0.5

Dann Doppelknick nach unten bei omega von 50:
F_ges = F3 / (1+iwT4)^2 mit T4 ~ 1/50

Jetzt zusammenmultiplizieren:
F_ges = (iwT1)^2/( (1+iwT2)*(1+iwT3)*(1+(iwT4)^2) )

Bei Bedarf noch ausrechnen.

Was ist jetzt Lead oder Lag? Wie gesagt, die Begriffe kenne ich
nicht, ich kann mir nur eine Definition als sinnvoll vorstellen:
So lange die Phasenlage >0 ist, ist es ein Lead, sonst Lag.

Ach ja, für das F_ges lege ich garantiert nicht meine Hand ins
Feuer, ich könnte mich da noch bei einigem verdenkt haben. Aber
grob vereinfacht (und vielleicht ja auch wirklich) sieht die
Sache jedenfalls so in der Art aus.

CU Rollo

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