Brechen kanonische Kommutatorrelationen fuer Felder nicht Lorentz-Invarianz?

14/05/2009 - 11:50 von Denis Besak | Report spam
Wieder mal ne Frage, die sich im Rahmen meiner Tutor-Taetigkeit in der
Quantenfeldtheorie ergeben hat: Warum postuliert man als kanonische
Kommutatorrelationen fuer Felder sowas wie

[\phi(\vec x,t),\phi(\vec x',t)] = i\delta(\vec x - \vec x'),

obwohl die Bedingung t = t' nicht Lorentz-Invariant ist? Bricht das
nicht die Lorentz-Invarianz der Theorie? Oder anders gefragt: Woher
weiss ich, dass ich das Postulat so formulieren muss und nicht das
zunaechst naeherliegende

[\phi(x),\phi(x')] = i\delta(x - x')

mit Vierervektoren x,x'? Scheck schreibt in seinem Buch, dass die
obige Bedingung trotzdem kovariant ist und man das, wenn man das so
nicht sieht, stattdessen anstelle der Bedingung t = t' die
Kommutatorrelation auf einer raumartigen Hyperflaeche fordern darf.
Das ist mir aber auch nicht klar, wie das gemeint ist.

Danke schonmal!

Denis Besak
 

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#1 Andreas Most
14/05/2009 - 12:39 | Warnen spam
Denis Besak writes:

Wieder mal ne Frage, die sich im Rahmen meiner Tutor-Taetigkeit in der
Quantenfeldtheorie ergeben hat: Warum postuliert man als kanonische
Kommutatorrelationen fuer Felder sowas wie

[\phi(\vec x,t),\phi(\vec x',t)] = i\delta(\vec x - \vec x'),



Du meinst wohl sowas wie [\phi,\pi] oder [\phi,\phi^\dag].
[\phi,\phi] verschwindet für alle Raumzeitpunkte.


obwohl die Bedingung t = t' nicht Lorentz-Invariant ist? Bricht das
nicht die Lorentz-Invarianz der Theorie?



Man muss sich vergegenwàrtigen, dass der Kommutator nur bei denselben
Raumzeitpunkten nicht verschwindet. Für x=x' und t=t' gilt auch für die
mit dem Lorentzboost L transformierten Größen

L (x,t) = L (x',t')

Die wichtige Aussage der obigen Beziehung ist, dass der Kommutator für
raumartige Abstànde verschwindet.

Oder anders gefragt: Woher
weiss ich, dass ich das Postulat so formulieren muss und nicht das
zunaechst naeherliegende

[\phi(x),\phi(x')] = i\delta(x - x')



Eigentlich ist es

[\phi(x),\pi(y)] = i\Delta(x-y)

Die invariante Funktion \Delta(x) reduziert sich zu \delta(x) für
x_0=0, ist aber nicht 0 für zeitartige Abstànde. (Das ist dann gerade
die Mikrokausalitàt)

Der Grund, warum man die Kommutatorbeziehung nicht mit der
vierdimnsionalen Deltafunktion formuliert, ist, dass man die Masse von
vornherein festgelegt hat, Das ist wiederum notwendig, um den hàsslichen
Kommutator [p_0,x_0] = [H,t] zu vermeiden, der verhindern würde, dass
die Energie nach unten beschrànkt und eben quantisiert ist.
(Ich hoffe, dass ist so ungefàhr richtig, was ich aus dem Gedàchtnis
wiedergebe.)

Andreas.

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