Cantor / Abbildung N auf R

17/11/2008 - 13:29 von sbwerbe | Report spam
Hallo zusammen,

ich bin kein Mathematiker, und ich habe diese Group auch bisher nicht
verfolgt. Ich habe mal kurz bei Google Groups zu dem Thema gelesen und
auch ein paar Threads gefunden, leider aber nur jeweils
bruchstückhaft, deswegen wiederhole ich wahrscheinlich bereits
gesagtes, wàre aber über ein paar (nicht allzu polemische ;-)
Antworten sehr dankbar.

Es geht um Cantors Diagonalenverfahren. Wir hatten das Thema letztens
beim Mittagessen, und ich habe mir dazu folgendes gedacht:

N \ R
1 2 3 m
1 | 0 - - - pro Zeile Binàrfolge entsprechend
2 | 1 - - - einer reellen Zahl zwischen 0,000...
und 0,111...
3 | 0 0 - - - steht für nur noch nullen
4 | 0 1 - -
5 | 1 0 - -
6 | 1 1 - -

7 | 0 0 0 -
8 | 0 0 1 -
9 | 0 1 0 -
10 | 0 1 1 -
11 | 1 0 0 -
12 | 1 0 1 -
13 | 1 1 0 -
14 | 1 1 1 -

n | . . . .

n bezieht sich also auf den Index der Zeile, m auf den Index der
Spalte.

links die Liste der natürlichen Zahlen, rechts dazu eine passende
Binàrdarstellung, die als Nachkommaanteil einer reellen Zahl
interpretiert wird. In den ersten beiden Zeilen wird also ein Bit
betrachtet, entsprechend gibt es zwei mögliche Binàrdarstellungen, in
den Zeilen 3-6 alle Binàrkombinationen von 2 Bit, Zeilen 7-14 alle 3
Bit Kombinationen etc. Eine beliebige reele Zahl, von der man die
ersten m Ziffern kennt, findet man in dieser Liste also innerhalb der
ersten n<=2^(m+1)-2 Zeilen.

Wenn ich jetzt Cantors Diagonalenargument hier anwende, z.B. für die
ersten 3 Ziffern, dann betrache ich z.B. die Zeilen 7-9:

7 | 0 0 0 -
8 | 0 0 1 -
9 | 0 1 0 -

Die Diagonale ist 000, die Umkehrung ist 111, und natürlich findet sie
sich nicht innerhalb dieser drei Zeilen. Aber sie findet sich
innerhalb der ersten 2^(3+1)-2 Zeilen, genauer in Zeile 14.

Das Diagonalenargument verstehe ich so, daß immer ein Quadrat
betrachtet wird, weil die Anzahl der betrachteten Spalten mit der
Anzahl der betrachteten Zeilen gleichgesetzt wird, was wohl mit der
Bijektivitàt der geforderten Abbildung zusammenhàngt. Aber obige
Abbildung ist surjektiv, was für die Gleichmàchtigkeit der beiden
Mengen R und N reichen sollte, und die Anzahl der zu betrachtenden
Zeilen n ist klar durch der Anzahl der Spalten m durch n=2^(n+1)-2
festgelegt. Ich muß auch nicht nachtràglich neue Zeilen erfinden, sie
sind ja sozusagend a priori vorhanden, ich muß nur akzeptieren, daß in
jedem Schritt stets mehr Zeilen als Spalten betrachtet werden müssen.

Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir den Fehler in diesem Konzept
erklàrt oder vielleicht, daß es sich dabei um einen alten Hut
handelt ;-)

Schönen Gruß
Sebastian
 

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#1 Ulrich Lange
16/11/2008 - 00:50 | Warnen spam
Rainer Rosenthal schrieb:
Jutta Gut schrieb:
schrieb im

Bleiben die irrationalen Zahlen. Kann man beweisen, daß es davon
unendlich viele gibt, ohne auf Cantors Diagonalenargument
zurückzugreifen?


Oh sorry, schon wieder ein Fehler... ich meinte natürlich abzàhlbar
unendlich viele ;-)


Es gibt auch andere Beweise, dass die reellen Zahlen überabzàhlbar sind. Ich
kenne z.B. den: Angenommen, man könnte die reellen Zahlen irgendwie in einer
Folge (a0, a1, a2, ...) ordnen. Dann legen wir um a0 ein Intervall der Lànge
1, um a1 eines der Lànge 1/2, um a2 eines der Lànge 1/4 usw, also um an ein
Intervall der Lànge 2^-n. Dann hàtten wir mit Intervallen, deren Lànge
zusammen 2 betràgt, die ganze Zahlengerade bedeckt, und das ist
offensichtlich unmöglich.

Grüße
Jutta




Hübsch. Woher ist der?



Die Grundidee ist aus Courant/Robbins ("Was ist Mathematik"). Ich habe
2006 hier schon mal versucht, dazu einen Thread zu starten ("Haben
Courant/Robbins etwa auch geirrt").

Im Thread ("Courant/Robbins wasserdicht") habe ich dann gezeigt, wie
man aus der Grundidee ein richtiger Beweis machen kann, und warum er für
IQ nicht funktioniert (liegt an der fehlenden Vollstàndigkeit).
Damals war ich hier so ziemlich der Einzige, der das "hübsch" fand.

Mit Suche nach "Ulrich Lange" und "Courant/Robbins" sollte man die
Threads wiederfinden.


Gruß, Ulrich Lange

(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)

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