Cantor, Dedekind, der Raum und die Zahlen

22/10/2009 - 10:02 von Herbert Newman | Report spam
"An diese Sàtze knüpfen sich Erwàgungen über die Beschaffenheit des der
realen Welt, zum Zwecke begrifflicher Beschreibung und Erklàrung der
in ihr vorkommenden Erscheinungen, zugrunde zu legenden
dreidimensionalen Raumes. Bekanntlich wird derselbe sowohl wegen der
in ihm auftretenden Formen, wie auch namentlich mit Rücksicht auf die
darin vor sich gehenden Bewegungen als durchgàngig stetig angenommen.
Diese letztere Annahme besteht [...] in nichts anderem, als daß jeder
Punkt, dessen Koordinaten x, y, z in bezug auf ein rechtwinkliges
Koordinatensystem durch irgendwelche bestimmte reelle, rationale oder
irrationale Zahlen vorgegeben sind, als wirklich zum Raume gehörig
gedacht wird, wozu im allgemeinen kein innerer Zwang vorliegt und
worin daher ein freier Akt unserer gedanklichen Konstruktionstàtigkeit
gesehen werden muß. Die Hypothese der Stetigkeit des Raumes ist also
nichts anderes, als die an sich willkürliche Voraussetzung der
vollstàndigen, gegenseitig-eindeutigen Korrespondenz zwischen dem
dreidimensionalen rein arithmetischen Kontinuum (x, y, z) und dem der
Erscheinungswelt zugrunde gelegten Raume."

(G. Cantor: "Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten Nr. 3", 1882)

"Meine Hauptantwort auf die im Titel dieser Schrift gestellte Frage lautet:
die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als
ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schàrfer
aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und
durch das in ihr gewonnene stetige Zahlenreich sind wir erst in den Stand
gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem
wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlenreich
beziehen."

(R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? 1888)


Herbert
 

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#1 The Dust of Time
23/10/2009 - 22:47 | Warnen spam
On 22 Okt., 10:02, Herbert Newman wrote:
"An diese Sàtze knüpfen sich Erwàgungen über die Beschaffenheit des der
realen Welt, zum Zwecke begrifflicher Beschreibung und Erklàrung der
in ihr vorkommenden Erscheinungen, zugrunde zu legenden
dreidimensionalen Raumes. Bekanntlich wird derselbe sowohl wegen der
in ihm auftretenden Formen, wie auch namentlich mit Rücksicht auf die
darin vor sich gehenden Bewegungen als durchgàngig stetig angenommen.
Diese letztere Annahme besteht [...] in nichts anderem, als daß jeder
Punkt, dessen Koordinaten x, y, z in bezug auf ein rechtwinkliges
Koordinatensystem durch irgendwelche bestimmte reelle, rationale oder
irrationale Zahlen vorgegeben sind, als wirklich zum Raume gehörig
gedacht wird, wozu im allgemeinen kein innerer Zwang vorliegt und
worin daher ein freier Akt unserer gedanklichen Konstruktionstàtigkeit
gesehen werden muß. Die Hypothese der Stetigkeit des Raumes ist also
nichts anderes, als die an sich willkürliche Voraussetzung der
vollstàndigen, gegenseitig-eindeutigen Korrespondenz zwischen dem
dreidimensionalen rein arithmetischen Kontinuum (x, y, z) und dem der
Erscheinungswelt zugrunde gelegten Raume."

(G. Cantor: "Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten Nr. 3", 1882)

"Meine Hauptantwort auf die im Titel dieser Schrift gestellte Frage lautet:
die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als
ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schàrfer
aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und
durch das in ihr gewonnene stetige Zahlenreich sind wir erst in den Stand
gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem
wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlenreich
beziehen."

(R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? 1888)

Herbert



Cantor kann auch irren :

Ein nichtstetige Bewegung wàre etwa ein Kangoroo ( das sich jedoch
mathematisch NICHT beschreiben làßt).

Also :

Kleingeister dürfen zwar labern soviel sie wollen, Millionàre werden
aber andere !

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