Cantor und die Axiome (4)

23/02/2014 - 12:14 von WM | Report spam
Erst die Erkenntnis inkonsistenter Mengen leitete Cantor zum Axiom der transfiniten Arithmetik:

Die Thatsache der "Consistenz" endlicher Vielheiten ist eine einfache, unbeweisbare Wahrheit, es ist "das Axiom der Arithmetik (im alten Sinne des Wortes)". Und ebenso ist die "Consistenz" der Vielheiten, denen ich die Alephs als Cardinalzahlen zuspreche, "das Axiom der erweiterten, der transfiniten Arithmetik". [Cantor an Dedekind, 28. Aug. 1899]

Daß die "abzàhlbaren" Vielheiten fertige Mengen sind, scheint mir ein /axiomatisch sicherer/ Satz zu sein, auf welchem die ganze Functionentheorie beruht. [Cantor an Hilbert, 10. Okt. 1898]

Daß das "arithmetische Continuum" in diesem Sinne eine "Menge" [ist], ist unsere gemeinsame Ueberzeugung; die Frage ist, ob diese Wahrheit eine beweisbare, oder ob sie ein Axiom ist. Ich neige jetzt mehr zu der letzteren Alternative, würde mich aber gerne von Ihnen für die andere überzeugen lassen. [Cantor an Hilbert, 9. Mai 1899]

Gruß, WM
 

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#1 Rudolf Sponsel
24/02/2014 - 10:45 | Warnen spam
Am 23.02.2014 12:14, schrieb WM:



Erst die Erkenntnis inkonsistenter Mengen leitete Cantor zum Axiom der transfiniten Arithmetik:

Die Thatsache der "Consistenz" endlicher Vielheiten ist eine einfache, unbeweisbare Wahrheit, es ist "das Axiom der Arithmetik (im alten Sinne des Wortes)". Und ebenso ist die "Consistenz" der Vielheiten, denen ich die Alephs als Cardinalzahlen zuspreche, "das Axiom der erweiterten, der transfiniten Arithmetik". [Cantor an Dedekind, 28. Aug. 1899]

Daß die "abzàhlbaren" Vielheiten fertige Mengen sind, scheint mir ein /axiomatisch sicherer/ Satz zu sein, auf welchem die ganze Functionentheorie beruht. [Cantor an Hilbert, 10. Okt. 1898]

Daß das "arithmetische Continuum" in diesem Sinne eine "Menge" [ist], ist unsere gemeinsame Ueberzeugung; die Frage ist, ob diese Wahrheit eine beweisbare, oder ob sie ein Axiom ist. Ich neige jetzt mehr zu der letzteren Alternative, würde mich aber gerne von Ihnen für die andere überzeugen lassen. [Cantor an Hilbert, 9. Mai 1899]

Gruß, WM



Hallo Wolfgang,
was soll denn "consistent" bzw. "inconsistent" in diesem Zusammenhang
bedeuten? Nehmmen wir z.B. die endliche Vielheit 2,4,5.
Und woher weiß er von der einfachen, unbeweisbaren Wahrheit?
RS

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