Cantor - Zermelo-Fraenkel

26/11/2010 - 21:37 von Schlaubi | Report spam
Hi,

auch auf die Gefahr hin, dass ich jetzt Kanonenfutter für beschrànkt
sinnvolle Beitràge liefer...

Ich habe ein bisschen angelesen "Cigler/Reichel: Topologie", das flog bei
mir auf dem Dachboden herum, ich bin aber kein Mathematiker, ich hatte mir
das mal im Physikstudium gekauft auf Grund meines Schwerpunktes ART.

Ich zitiere einfach mal wild:

"(S. 4) Um mit dem Mengenbegriff wirkungsvoll operieren zu können, muß man
annehmen, daß man gewisse Konstruktionen ausführen kann, zu welchen man in
Wirklichkeit nie imstande wàre. (...)
Man nimmt dabei implizit an, daß es möglich ist, die Elemente der Menge
daraufhin zu untersuchen, ob sie die Eigenschaft E besitzen oder nicht.
(...) E. Bishop nennt diese Annahme in seinem Buch "Foundations of
constructive analysis" das Prinzip der Allwissenheit. (Wenn man nicht
allwissend ist, wird es schwer sein, festzustellen, ob in der
Dezimalzahlentwicklung der Zahl Pi die Ziffer 7 unendlich oft vorkommt.)
Es gibt Mathematiker, welche die Aussage: "Entweder kommt die Ziffer 7 nur
endlich oft vor oder unendlich oft" zu vage und unexakt finden. Sie stellen
sich auf den Standpunkt, daß nur tatsàchliche Konstruktionen in der
Mathemathik zulàssig seien (das, was ein idealer Computer in abschàtzbarer
Zeit explizit durchführen könnte). Für einen solchen Mathematiker ist der
Mengenbegriff sinnlos. Aber nicht nur der Mengenbegriff. Schon die simple
Tatsache, daß jede beschrànkte Folge reeller Zahlen ein Suprememum besitzt,
macht vom Prinzip der Allwissenheit Gebrauch. ()
Wir stellen uns auf den Standpunkt der sogenannten "naiven" Mengenlehre (der
Mengenbegriff wird "inhaltlich" interpretiert. Im Gegensatz dazu werden in
der "axiomatischen Mengenlehre" die Eigenschaften, welche ein vernünftiger
Mengenbegriff erfüllen sollte, axiomatisch festgelegt). Das ist die
Mengenlehre, so wie sie ihr Begründer Georg Cantor (...) verstanden hat
(...)"

Jetzt bin ich etwas zitierfaul, aber die Autoren gehen nun über zu
abzàhlbaren Mengen und dann zum Cantor'schen Diagonalverfahren und einem
Beweis zur Existenz irrationaler Zahlen, der mir schwieriger vom Verstàndnis
her erscheint, da er auf die Darstellung einer Zahl in Ziffern verzichtet.
Aber weiter:

Nun: (S.10 ff)
"
Es gibt derzeit eine Reihe verschiedener Axiomensysteme für die Mengenlehre.
Das bekannteste ist das bereits erwàhnte, welches 1908 von E. Zermelo
aufgestellt wurde, aber noch eine Lücke aufwies, die 1921 von A. Frenkel
geschlossen wurde.
"

Laut Internetrecherche ist die axiomatische Mengenlehre von Zermelo-Frenkel
die, die aktuell als Basis für das Fundament der (z.b.) Analysis genommen
wird.

Seite 11 ff:
"Die axiomatische Mengenlehre gibt uns also (zumindest derzeit noch) kein
kanonisches Axiomensystem, den intuitiven Mengenbegriff adàquat zu
beschreiben. Die Frage nach einem 'natürlichen Fundament' ist nach wie vor
offen, mehr noch die Frage, ob ein solches überhaupt möglich ist. (...)"

Meine Fragen:
Was waren eigentlich die Cantorschen Axiome und warum mussten diese
verbessert werden? Wo sieht man das? Was wurde dadurch erreicht?
Wo sind die Grenzen der jetzigen Axiome? Was fehlt eigentlich noch?

Danke!
 

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#1 Gottfried Helms
26/11/2010 - 21:45 | Warnen spam
Am 26.11.2010 21:37 schrieb Schlaubi:
Hi,


Meine Fragen:
Was waren eigentlich die Cantorschen Axiome und warum mussten diese
verbessert werden? Wo sieht man das? Was wurde dadurch erreicht?
Wo sind die Grenzen der jetzigen Axiome? Was fehlt eigentlich noch?



Bin selbst hierin ziemlich ahnungslos, aber eine selten interessante
Diskussion gibt's .Zt. gerade hier:

http://mathoverflow.net/questions/4...-the-reals

Man setzt sich hier mit der Argumentations*weise* auseienander, möglicher-
weise gibt's dabei etwas auch für Deine Frage.

Nur grad in Kürze, sorry -

Gottfried

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