Cantors 2. Diagonalunlogik

07/05/2011 - 10:56 von Vogel | Report spam




Die Beweisführung in Cantors 2. Diagonalbeweis geht so:




1.) Man betrachtet die unendliche Punktmenge M aller reller Zahlen im
Intervall {(0,1)}. Diese Menge ist bijektiv auf die Menge der rellen Zahlen
abbildbar, wie jede Untermenge der rellen Zahlen. Es reicht also irgend
eine beliebige Untermenge zu betrachten. Es muss nicht {(0,...,1)} sein.




2.) Man bildet eine _unendliche_ Liste mit rellen Zahlen, bestehend aus
einer unedlichen Untermenge U der unendlichen Menge M, {(0,...,1)}. Auch
diese Untermenge U ist bijektiv auf R abbildbar, bzw. auch umgekehrt.
Genauso gibt es die bijektive Abbildung M->U. Man bildet mit dieser Liste
eine unendliche Folge F(U)->N. Bzw. gibt es auch die Umkehrfolge N->F(U).




3.) Man findet dann mit einem geeigneten Verfahren ein reelle Zahl ri
welche zwar zur Menge {(0,...,1)} gehört, aber nicht in der Untermenge U
der Folge F enthalten ist.




Oh Wunder der menschlichen Intelligenz. Es làsst sich in einer Zahlenmenge
M eine Zahl finden welche nicht zur Untermenge U<M der Menge M gehört,
sondern zu {M/U}. Und dafür braucht man dann so einen Mumpitz wie das
Diagonalverfahren oder Binàrbàume.




4.) Diese Zahl ri gehört also nicht mehr zur unendlichen Folge F und daher
nicht mehr zur (beliebigen) Bijektion N->F. Diese Zahl erscheint als
_überabzàhlbar_ gegenüber der Menge der natürlichen Zahlen N.




5.) Man bezeichnet daher die Menge M, {(0,...,1)} als überabzàhlbar und in
Folge auch R, wegen der Bijektion R->M.




Soweit die Beweisführung Cantors.




Leider ist diese Logik falsch, da sie auf Beliebigkeit beruht.
Auf der Beliebigkeit der Wahl der Untermenge U. Schlicht und einfach ein
Bauerntrick.




Genausogut wie es die Bijektion R->M gibt, gibt es natürlich auch die
Bijektion R->U, den sowohl (U e M) als auch M sind unendlich gross.
U ist abzàhlbar, M gilt als überabzàhlbar. Was soll R denn nun sein?




In einer unendlich grossen Punktmenge ist die Menge selber eine Untermenge
von sich selbst, bzw. jede Menge ist auch eine Untermenge von sich selber
und klar, jede Menge ist bijektiv auf sich selber abbildbar.




Genauso wie sich mit (U e M), (U<M) eine Folge F(U e M)->N bilden làsst,
kann man natürlich auch eine Folge F(M)->N bilden den M ist auf U bijektiv
abbildbar, bzw. man nimmt U=M. Wobei M bijektiv auf R abbildbar ist. Also
gibt es eine bijektive Folge F(R)->N. Infolge ist R abzàhlbar.




Es làsst sich dann keine relle Zahl mehr finden welche nicht zur Folge
gehören würde. Und schon erscheint die Menge M des reellen Intervalls
{(0,...,1)} nicht mehr als _überabzàhlbar_ und als Folge auch nicht R.




Das hat mit potentiell unendlich gar nichts zu tun. Ob all diese
mathematischen Operationen in einem Menschenleben oder im Alter des
Universums denn tatsàchlich ausgeführt werden können ist irelevant.
In der Mathematik hat man mehr als alle Zeit der Welt zur Verfügung.
Gell lieber WM ;-)




Und noch ein zusàtzliches Gedankenargument. Es làsst sich jedem Punkt einer
unendlich grossen Punktmenge eine relle Zahl zuweisen, da eine unendliche
Menge bijektiv auf sich selber und auf jede unendlich grosse Menge
abbildbar ist. Es làsst sich immer eine geordnete relle Zahlenfolge bilden
mit ri<rj, egal wie gross die Menge der Zahlen {r e R} ist. Also auch für
den Fall r=R. Jede geordnete Folge ist abzàhlbar.




Durch die Bildung der Folge erzeugt man daher eine Bijektion F->N.




Damit ist die unendliche Punktmenge abzàhlbar in R und in N.
Es gibt also folglich eine Bijektion R->N. Es gibt aber genauso, immer auch
eine Bijektion F(U e R)->N. Leider wird nur letzter betrachtet wenn man von
Überabzàhlbarkeit spricht. Das ist eine Beliebigkeit. Man darf auch U=R
betrachten.




Die unendliche Menge R ist also immer abzàhlbar. Es làsst sich aber auch
immer eine unendlich grosse Untermenge von R finden, welche nicht alle
Zahlen von R enthàlt. Lediglich letzteres ist der Unterschied zur Menge der
natürlichen Zahlen. Mit Überabzàhlbarkeit von R hat das nichts zu tun.
Der Begriff erweckt den Eindruck als könnten man die Elemente von R nicht
alle Zàhlen, was natürlich falsch ist.




Man kann sehr wohl alle rellen Zahlen abzàhlen. Dafür muss man aber R
abzàhlen und nicht eine Untermenge von R, wie Cantor das tut.




Bei Wiki steht:




"Sei (zi) irgendeine Folge reeller Zahlen im offenen Intervall (0,1). Wir
werden zeigen, dass es mindestens eine reelle Zahl in diesem Intervall
gibt, die nicht in der Folge (zi) vorkommt. Da diese Argumentation für jede
beliebige Folge (zi) gilt, kann es keine Folge geben, die alle reellen
Zahlen im Intervall (0,1) enthàlt."




Letzter Satz ist schon ein logischer Widerspruch in sich. Die "beliebige
Folge (zi)" kann natürlich auch die Folge ALLER Zahlen des Intervalls sein,
wenn sie denn eine beliebige Folge ist.
Dann gibt es keine Folge welche, nicht alle Zahlen des Intervalls enthàlt.
Der da geführte Beweis ist also ein Beweis der Beliebigkeit.


 

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#1 Norbert Marrek
07/05/2011 - 11:25 | Warnen spam
Am 07.05.2011 10:56, schrieb Vogel:



Die Beweisführung in Cantors 2. Diagonalbeweis geht so:



1.) Man betrachtet die unendliche Punktmenge M aller reller Zahlen im
Intervall {(0,1)}. Diese Menge ist bijektiv auf die Menge der rellen Zahlen
abbildbar, wie jede Untermenge der rellen Zahlen. Es reicht also irgend
eine beliebige Untermenge zu betrachten. Es muss nicht {(0,...,1)} sein.



Das möchte ich sehen, wie du z.B. die Untermenge IN oder { 1 }
der rellen Zahlen bijektiv auf IR abbildest.

Aloha,
Norbert

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