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Cantors Diskontinuum

04/06/2011 - 20:08 von Jürgen R. | Report spam
Bei Cantors Konstruktion, wobei aus dem Intervall [0,1]
das mittlere Drittel (1/3,2/3) eliminiert wird, dann
aus den übrigbleibenden wiederum die mittleren Drittel,
d.h. (1/9,2/9) und (7/9,8/9), usw., bleibt eine Menge
mit kuriosen Eigenschaften: Sie ist perfekt, nirgends
dicht und total unzusammenhàngend. Man kann leicht
zeigen, dass eine Menge mit diesen topologischen
Eigenschaften nicht abzàhlbar sein kann.

Im konkreten Fall sind die Elemente des
Diskontinuums alle Zahlen, deren Ternàrdarstellung
keine 1 enthàlt. NB beweist das ohne
Diagonalargument, dass die reellen Zahlen nicht
abzàhlbar sind.

Die Frage wurde gestellt, wie man in einer analogen
Konstruktion explizit Elemente der Restmenge R finden kann.
Man eliminiert sukzessive aus [0,1] für jede rationale
Zahl ein Intervall, das diese Zahl enthàlt, derart dass
die Summe der Làngen dieser Intervalle kleiner als 1
ist. Dann ist R überabzàhlbar
und die Meinung scheint zu sein, dass es trotzdem
schwierig ist, konkret Elemente zu identifizieren.

Dazu zwei Bemerkungen:
(1) Man braucht nur eine Cauchy-Folge zu finden, die
gegen eine Zahl konvergiert, die in R liegt. Ist
diese Folge berechenbar, so ist auch der Grenzwert
berechenbar.
(2) Es sei B_n die geordnete Menge aller echten Brüche in
[0,1] (also aller p/q wobei p und q teilerfremd
sind und p < q) mit q <= n. B_n hat eine überraschende
Eigenschaft. Sind nàmlich a/b, c/d Nachbarn in B_n,
so gilt |cb - ab| = 1.

Daher kann man problemlos jede rationale Zahl mit
einem offenen Intervall überdecken, derart dass
dieses Intervall keine weiteren Elemente von B_n
enthàlt und damit ist die Konstruktion beliebiger
Cauchy-Folgen der geforderten Art einfach.
 

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#1 Jürgen R.
04/06/2011 - 20:15 | Warnen spam
[...]

Daher kann man problemlos jede rationale Zahl



in B_n

mit einem offenen Intervall überdecken, derart dass
dieses Intervall keine weiteren Elemente von B_n
enthàlt und damit ist die Konstruktion beliebiger
Cauchy-Folgen der geforderten Art einfach.

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