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Cauchyfolgen in topologischen Räumen

30/01/2009 - 16:30 von Putzmann | Report spam
Hallo, liebe NG!

Ich frage mich gerade:
Kann man den Begriff von "Cauchyfolgen" auf topologische Ràume
verallgemeinern? Anscheinend ist das nicht sehr fruchtbar, weil man
davon nichts hört und weil die "Größe" der Umgebungen in top. Ràumen
nur durch "Enthaltensein" vergleichbar ist. Oder wurde das schon von
jemandem versucht (und ist gelungen)?

Danke :-)
 

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#1 Dieter Kadelka
30/01/2009 - 16:44 | Warnen spam
Putzmann wrote:
Hallo, liebe NG!

Ich frage mich gerade:
Kann man den Begriff von "Cauchyfolgen" auf topologische Ràume
verallgemeinern? Anscheinend ist das nicht sehr fruchtbar, weil man
davon nichts hört und weil die "Größe" der Umgebungen in top. Ràumen
nur durch "Enthaltensein" vergleichbar ist. Oder wurde das schon von
jemandem versucht (und ist gelungen)?

Danke :-)



Hallo,
direkt làsst sich da wohl nichts verallgemeinern. Cauchyfolgen sind ja
typischerweise in metrischen Ràumen definiert. Eine mögliche
Verallgemeinerung dieser metrischen Ràume sind die uniformen Ràume. Es
gibt da Cauchy-Filter (als direkte Verallgemeinerung der Cauchy-Folgen),
Vollstàndigkeit usw.

Der wesentliche Punkt ist, dass man das Benachbartsein von x,y \in M
(M,d) metrischer Raum, definiert durch d(x,y) < epsilon, durch (x,y) \in
N, N \subset M x M, ersetzt. N kann als Nachbarschaft bezeichnet werden,
die Menge aller derartigen N muss wie üblich gewisse Eigenschaften erfüllen.

Kapitel 2 von Bourbaki, Top. gen. ist übrigens diesen uniformen Ràumen
gewidmet. Die Theorie der lokal konvexen Ràume (sofern sie nicht
metrisierbar sind), topologischen Gruppen usw. macht übrigens
umfangreichen Gebrauch derartiger uniformer Ràume.

Viele Grüße

Dr. Dieter Kadelka
Institut für Stochastik
Universitàt Karlsruhe
Kaiserstr. 89-93
D 76133 Karlsruhe
Tel.: 0721 608 3271
Fax : 0721 608 6066

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