Chemisches Potential idealer Gase - Herleitung?

05/11/2009 - 23:45 von Thobias Schreiner | Report spam
Hallo,

das chemische Potential u idealer Gase zu beliebiger Konzentration
kann man berechnen aus
u=u0+kt{ln(n)-ln(no)}, oder auch u=u0+kt{ln(p)-ln(p0)}

wobei u0 das chemische Potential bei Konzentration no/Druck p0 ist,
und u das chemische Potential bei Konzentration n/Druck p ist.

Das chemische Potential ist definiert als partielle Ableitung Innere
Energie U nach Teilchenzahl N.

Die innere Energie U eines idealen Gases ist 3/2kT*N, und die ideale
Gasgleichung pV=NkT (Druck also proportional der Konzentration, im ln
kürzen sich kt/V raus),
wobei p der Druck, V das Volumen, k die Bolzmannkonstante, und T die
Temperatur sind.

Wie kann man sich aus diesen Vorraussetzungen die Abhàngigkeit des
chemischen Potentials u zu beliebiger Konzentration n=N/V aus u0 und
dem ln des Konzentrations-/Druckquotienten herleiten?

Mir ist intuitiv klar, dass der Druck bei Zufügung eines Teilchens bei
schon einer hohen Teilchenzahl N1 nur unwesentlich ansteigen wird
verglichen mit dem Druckanstieg bei Hinzufügung eines Teilchens zum
System bei geringerer Teilchenzahl N0. Irgendwie sollte sich daraus
ein ln herleiten können...

Offensichtlich leide ich zur Zeit an starker partieller geistiger
Umnachtung... Vieleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen...

Ich gehe davon aus, dass ich die Innere Energie U eines Systems um
3/2kT erhöhe, wenn ich ein Teilchen (ideales Gas) bei konstanter
Temperatur hinzufüge.

Bei allem hin- und herrechnen und Papiervollschreiben komme ich auf
keine mathematisch saubere Herleitung. Vieleicht kann mir jemand auf
die Sprünge helfen?

MfG
 

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#1 Thobias Schreiner
06/11/2009 - 00:12 | Warnen spam
Thobias Schreiner :

Mache mal die Ingrid... ;-)

Hintergrund der ganzen Aktion ist, dass ich als Übungssemiarleiter
einer Elektronikvorlesung die Studenten gefragt habe, wieso man die
Fermienergie mit dem chemischen bzw. elektrochemischen Potential
identifizieren könne.

In der Bolzmann-Nàherung der Fermifunktion ist die Konzentration n der
Leitungsbandelektronen durch n=Nc*exp{-(Wc-Wf)kT} gegeben, wobei Nc
die effektive Zustandsdichte des Leitungsbandes, Wc die Energie der
Leitungsbandkante, Wf die Fermienergie, und k und T die
Bolzmannkonstante und die Temperatur sind.

Unterscheiden sich die Konzentrationen n und no der
Leitungsbandelektronen bloß aufgrund der Fermienergie, kann man eine
einfache Analogie zum chemischen Potential eines idealen Gases
herstellen, und so diese Identifikation zumindest plausibel machen.

Ich möchte nur gerne die Abhàngigkeit des chemischen Potentials u
eines idealen Gases von der Konzentration und u0 bei bekannter
Konzentration nicht bloß als aus der pysikalischen Chemie bekannt
vorraussetzen müssen, sonder plausibel herleiten möchten.

MfG

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