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Co-Funktionen

09/06/2008 - 11:20 von LenaMalina | Report spam
Hallo!

Folgendes Problem habe ich:
Mir ist anschaulich klar, dass Folgendes gilt, ich finde bloss keinen
Weg, der kurz genug wàre, es darzustellen:

Sei eine beliebige Funktion f, definiert auf ganz R, gegeben und es
gelte, dass sie im Unendlichen verschwindet (d.h. f \in Co(R)). WIr
betrachten eine punktweise Ordnung auf Co(R), d.h. für Funktionen a,b
\in Co(R) gilt a<b genau dann, wenn a(x)<b(x) für alle x \in R (wobei
hier mit "<" das Kleinergleichzeichen gemeint ist).

Ich möchte nun eine Funktion g \in Co(R) finden, die sich wie folgt
verhàlt (sie existiert, meiner Intuition und Anschauung nach):
für beliebiges c \in R gilt NICHT: g < cf.
(d.h. anschaulich: egal, mit welchem c ich f multipliziere, irgendwo
"weit außerhalb" tritt dennoch der Fall ein, dass g über cf liegt.
oder auch: g fàllt "viel langsamer" als f.)

Wie kann ich nun das g wàhlen?

[Einen Weg gibt es - man macht eine stereographische Projektion von R
auf einen Kreis und identifiziert unendlich mit einem Punkt auf dem
Kreis. Dann kann man die Funktionen alle durch Null aufm Kreis
fortsetzen. und dann sieht man das Gewünschte schnell. Allerdings
hilft mir das nichts für den allgemeinen Fall, wohingegen, wenn ich
das g abhàngig von f wàhlen könnte, ich es auch auf allgemeinere Fàlle
übertragen könnte (d.h. nicht R, sondern auf einen lokalkompakten Raum
zB).]
 

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#1 Jens Voß
09/06/2008 - 15:05 | Warnen spam
On 9 Jun., 11:20, LenaMalina wrote:
Hallo!

Folgendes Problem habe ich:
Mir ist anschaulich klar, dass Folgendes gilt, ich finde bloss keinen
Weg, der kurz genug wàre, es darzustellen:

Sei eine beliebige Funktion f, definiert auf ganz R, gegeben und es
gelte, dass sie im Unendlichen verschwindet (d.h. f \in Co(R)). WIr
betrachten eine punktweise Ordnung auf Co(R), d.h. für Funktionen a,b
\in Co(R) gilt a<b genau dann, wenn a(x)<b(x) für alle x \in R (wobei
hier mit "<" das Kleinergleichzeichen gemeint ist).

Ich möchte nun eine Funktion g \in Co(R) finden, die sich wie folgt
verhàlt (sie existiert, meiner Intuition und Anschauung nach):
für beliebiges c \in R gilt NICHT: g < cf.
(d.h. anschaulich: egal, mit welchem c ich f multipliziere, irgendwo
"weit außerhalb" tritt dennoch der Fall ein, dass g über cf liegt.
oder auch: g fàllt "viel langsamer" als f.)

Wie kann ich nun das g wàhlen?

[Einen Weg gibt es - man macht eine stereographische Projektion von R
auf einen Kreis und identifiziert unendlich mit einem Punkt auf dem
Kreis. Dann kann man die Funktionen alle durch Null aufm Kreis
fortsetzen. und dann sieht man das Gewünschte schnell. Allerdings
hilft mir das nichts für den allgemeinen Fall, wohingegen, wenn ich
das g abhàngig von f wàhlen könnte, ich es auch auf allgemeinere Fàlle
übertragen könnte (d.h. nicht R, sondern auf einen lokalkompakten Raum
zB).]



Wie wàre es z.B. mit g(x) := sqrt(|f(x|)?

Schönen Gruß,
Jens

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