Corioliskraft(analytisch und vektoriell)

18/12/2009 - 15:04 von Vogel | Report spam




Grundwissen für PISA-Lehrkràfte und andere Banausen.
Die Wirkung einer Ursache kann man feststellen indem alle anderen
Ursachen ausschaltet.
Mathematisch gesagt, man variiert einen Parameter, wàhren man alle
anderen Parameter konstant festhàlt.
Dann wollen wir doch mal untersuchen welche Ursachen die Corioliskraft
hat, nachdem hier soviel Unklarheit an den Tag gelegt wurde.




(°) - vektorielle Ableitung(variable Richtung)
(') - skalare Ableitung(konstante Richtung)
Skalare Werte stehen in Klammern(), sonstige sind Vektoren.




r(teta) = (r) * e_r (Ortsvektor)(ist gegeben)
w = (w) * e_k (Winkelgeschwindigkeit)(resultiert)





Winkelbeschleunigung:
w° = (w')*e_k + (w)*e_k° = (w')*e_k




Geschwindigkeit analytisch und vektoriell:
r° = (r')*e_r + (r)*e_r° = (r')*e_r + (r*w)*e_T
r° = v_r + w x r = v_r + v_T
v_r = (r')*e_r (Radialgeschwindigkeit)
v_T = (r*w)*e_T = w x r (Tangentialgeschwindigkeit)




Beschleunigung nach Komponenten analytisch und vektoriell:
v_r° = (r")*e_r + (r')*e_r° = (r")*e_r + (r'*w)*e_T
v_r° = (r")*e_r + (r')* w x e_r = a_rr + w x v_r
v_r° = a_rr + a_Tr
a_rr (Radialbeschleunigung aus Làngenbeschleunigung des Ortsvektors)
a_Tr (Tangentialbeschleunigung aus Làngenvariation des Ortsvektors)




v_T° = (r*w')*e_T + (r'*w)*e_T - (r*w^2)*e_r
v_T° = w° x r + w x r°
v_T° = w° x r + w x [v_r + w x r]
v_T° = w° x r + w x v_r + w x [w x r]
v_T° = a_Tw + a_Tr + a_rw
wx[w x r] = w*[w*r] - r*[w*w] = 0 - r*(w^2) = - (r*w^2)*e_r
a_Tw (Tangentialbeschleunigung aus Winkelbeschleunigung)
a_Tr (Tangentialbeschleunigung aus Làngenvariation des Ortsvektors)
a_rw (Radialbeschleunigung aus Richtungsvariation des Ortsvektors)




v_r° + v_T° = [a_rr + w x v_r] + [a_Tw + w x v_r + w x [w x r]]
v_r° + v_T° = a_rr + a_rw + a_Tw + 2*a_Tr
a_r = a_rr + a_rw
a_T = a_Tw + 2*a_Tr
a_r - Radialbeschleunigung
a_Tw - Tangentialbeschleunigung aus Winkelbeschleunigung
2*a_Tr = 2*[w x v_r] - Coriolisbeschleunigung(Tangentialbeschleunigung)




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Wie man sieht hat sie die Làngenvariation des Ortsvektors als Ursache.
Bei einer Kreisbahn ist also die Corioliskraft gleich Null, da v_r=0.
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Beschleunigung rein analytisch:
r°° = (r")*e_r + (r')*e_r° + (r*w')*e_T + (r'*w)*e_T + (r*w)*e_T°
r°° = (r")*e_r + (r'*w)*e_T + (r*w')*e_T + (r'*w)*e_T - (r*w^2)*e_r
r°° = (r" - r*w^2)*e_r + (r*w' + 2*r'*w)*e_T
r°° = a_r + a_T




a_r = (r" - r*w^2)*e_r (Radialbeschleunigung)
a_r = a_rr + a_rw
a_rr (Radialbeschleunigung aus Làngenvariation des Ortsvektors)
a_rw (Radialbeschleunigung aus Richtungsvariation des Ortsvektors)
(ergibt Zentripetalkraft auf einer Kreisbahn)




a_T = (r*w' + 2*r'*w)*e_T (Tangentialbeschleunigung)
a_T = a_Tw + 2*a_Tr
a_Tw (Tangentialbeschleunigung aus Richtungsvariation des Ortsvektors)
a_Tr (Tangentialbeschleunigung aus Làngenvariation des Ortsvektors)
2*a_Tr - Coriolisbeschleunigung(Tangentialbeschleunigung)
r°° = a_rr + a_rw + a_Tw + 2*a_Tr




Beschleunigung rein vektoriell:
r°° = [r°]° = [v_r + v_T]° = [v_r + w x r]°
r°° = v_r° + w°xr + wxr°
r°° = a_rr + w x v_r + w°xr + wxr°
r°° = a_rr + w x v_r + w° x r + w x v_r + w x [w x r]
r°° = a_rr + w x [w x r] + w° x r + 2*w x v_r
r°° = a_rr + a_rw + a_Tw + 2*a_Tr





Glossar:
Einheitsvektoren(Versoren)
{e_r, e_T, e_k}




e_r = e_T x e_k
e_T = e_k x e_r
e_k = e_r x e_T




e_r * e_T = 0
e_T * e_k = 0
e_k * e_r = 0




e_r° = (w)*e_T = w x e_r
e_T° = -(w)*e_R = w x e_T
e_k° = 0 (da Drehachse konstant im Raum)





Selber denken macht klug.
 

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#1 adam
18/12/2009 - 16:55 | Warnen spam
On 18 Dez., 15:04, Vogel wrote:

2*a_Tr = 2*[w x v_r] - Coriolisbeschleunigung(Tangentialbeschleunigung)



Coriolisbeschleunigung ist nicht nur Tangentialbeschleunigung.

Bei einer Kreisbahn ist also die Corioliskraft gleich Null, da v_r=0.



Nicht die Corioliskraft ist gleich Null, sondern nur Ihre tangentiale
Komponente, wie du selber oben in Klammern anmerkst.

Hier nochmal die allgemeine vektorielle Herleitung sàmtlicher
Tràgheitskràfte im rotierendem Bezugssystem:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fictit...te_systems
Am Ende steht dann welcher Term "Corioliskraft" genannt wird (von
jedem außer Vogel)

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