Das Diagonalargument von G. Cantor ist hiermit widerlegt

23/02/2009 - 01:33 von Albrecht | Report spam
Ich setze das zweite Diagonalverfahren oder Diagonalargument von Georg
Cantor hier als bekannt voraus und spare mir deshalb die Details.

Gegeben sei eine beliebige irrationale Zahl r zwischen 0 und 1. Es
gibt offensichtlich genau abzaehlbar viele irrationale Zahlen zwischen
0 und 1 die sich jeweils durch einen rationalen Betrag von r
unterscheiden. Diese Zahlen sind konstruierbar und lassen sich
zusammen mit r in einer Liste L anordnen. Wird nun fuer diese Liste
nach dem bekannten Verfahren von Cantor die Antidiagonale a erzeugt,
so ist a nach dem Argument von Cantor nicht in der Liste L enthalten.

Aber entsprechend der Vorschrift von Cantor zur Erzeugung der
Antidiagonalen unterscheidet sich a von r und auch von allen anderen
irrationalen Zahlen der Liste L nur um jeweils einen rationalen
Betrag. Damit muss aber die Antidiagonale a der Liste L entsprechend
der Vorschrift zur Erzeugung der Liste L in der Liste L enthalten
sein, denn die Liste L enthaelt entsprechend ihrer Konstruktion
_alle_ abzaehlbar vielen von r um einen rationalen Betrag
verschiedene Zahlen zwischen 0 und 1.
qed

Somit fuehrt die Anwendung des Diagonalargumentes von Cantor zu der
antinomen Konsequenz, dass es Listen gibt die ihre Antidiagonale
enthalten muessen - obwohl die Antidiagonale in der Liste nicht
enthalten sein kann.

Diese Ueberlegung fuehrt das Diagonalargument, mit dem G. Cantor
bewiesen haben wollte, dass es ueberabzaehlbar viele reelle Zahlen
gibt, ad absurdum.

Die Anwendung des Diagonalarguments fuehrt zu einem Widerspruch in der
Mathematik und ist damit nicht zu halten.


Albrecht Siegfried Storz
Mannheim, den 23.02.2009
 

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#1 Marko Renner
23/02/2009 - 02:00 | Warnen spam
Albrecht schrieb:
Ich setze das zweite Diagonalverfahren oder Diagonalargument von Georg
Cantor hier als bekannt voraus und spare mir deshalb die Details.

Gegeben sei eine beliebige irrationale Zahl r zwischen 0 und 1. Es
gibt offensichtlich genau abzaehlbar viele irrationale Zahlen zwischen
0 und 1 die sich jeweils durch einen rationalen Betrag von r
unterscheiden. Diese Zahlen sind konstruierbar und lassen sich
zusammen mit r in einer Liste L anordnen. Wird nun fuer diese Liste
nach dem bekannten Verfahren von Cantor die Antidiagonale a erzeugt,
so ist a nach dem Argument von Cantor nicht in der Liste L enthalten.

Aber entsprechend der Vorschrift von Cantor zur Erzeugung der
Antidiagonalen unterscheidet sich a von r und auch von allen anderen
irrationalen Zahlen der Liste L nur um jeweils einen rationalen
Betrag.


Mir ist nicht ganz klar, warum das so sein sollte. Jede Stelle
von a ist durch Modifikation einer anderen Stelle einer *anderen*
Zahl entstanden, welchen Einfluß das auf die Rationalitàt von |a-r|
haben sollte, verstehe ich nicht, warum sollte diese Differenz
(bzw. deren Dezimal- oder andere Darstellung) "irgendwo" plötzlich
abbrechen oder periodisch werden?

Marko

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