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Das Dis-Cantor'sche Kontinuum

17/09/2007 - 22:31 von Albrecht | Report spam
Alle Zahlendarstellungen im Folgenden in triadischer
Stellenschreibweise.

Konstruktion:
Ausgangspunkt ist das halbseitig offene Intervall [0, 1).
In der ersten Stufe wird das Intervall in drei gleiche Teilintervalle
zerlegt:
[0, 0.1), [0.1, 0.2), [0.2, 1)
In der zweiten Stufe wird jedes dieser Intervalle wieder in drei Teile
zerlegt, also [0, 1) in insgesamt 9 Intervalle:
[0, 0.01), [0.01, 0.02), [0.02, 0.1),
[0.1, 0.11), [0.11, 0.12), [0.12, 0.2),
[0.2, 0.21), [0.21, 0.22), [0.22, 1)

In der dritten Stufe wird wieder jedes dieser Intervalle gedrittelt,
also erhàlt man 27 Intervalle auf dem Intervall [0, 1), etc.

Dieser Prozess wird ins Unendliche fortgesetzt gedacht. Auf der ersten
Stufe ergeben sich 3^1 Intervalle die [0, 1) abdecken, auf der zweiten
Stufe 3^2 Intervalle, ..., also auf der n-ten Stufe 3^n Intervalle,
die [0, 1) abdecken. Wenn man n gegen Unendlich streben làsst, so
strebt auch die Anzahl der Intervalle, die auf der entsprechenden
Stufe [0, 1) abdecken gegen unendlich.

Jeder Pfad, der sich durch diese Kaskade von Intervallen legen làsst,
so dass, oben bei [0, 1) beginnend, der Pfad sich immer nur in
Intervallen fortsetzt, die in dem Intervall enthalten sind, aus dem
der Pfad kommt, entspricht einer reellen Zahl aus [0, 1).

Ausserdem entspricht die Folge der Intervalle, durch die dieser Pfad
làuft, einer Intervallschachtelung dieser reellen Zahl.

Zum Beispiel entspricht die triadische Zahl 0.111111... einem Pfad bei
dem immer das mittlere der drei jeweils zur Auswahl stehenden
Intervalle gewàhlt wird.
Dazu gehört die Intervallschachtelung
[0, 1]
[0.1, 0.2]
[0.11, 0.12]
[0.111, 0.112]
...

Nach dem Intervallschachtelungssatz enthàlt die Schnittmenge dieser
Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl.

Nun ist jede reelle Zahl aus [0, 1) durch eine abzàhlbar unendliche
Anzahl von Intervallschachtelungsstufen bestimmt, entspechend
abzàhlbar unendlich vielen Ziffern in der Stellendarstellung.
Oben wurde gezeigt, dass das Intervall [0, 1) durch das gegebene
Verfahren mit n nach Unendlich in abzàhlbar unendlich viele Intervalle
zerlegt wird, die das Intervall [0, 1) vollstàndig abdecken.

Jedes dieser "Grenzintervalle" enthàlt genau eine reelle Zahl, und die
Gesamtheit aller dieser Grenzintervalle decken das Intervall [0, 1)
vollstàndig ab. Die Anzahl dieser Grenzintervalle ist abzàhlbar
unendlich. Folglich ist die Anzahl der reellen Zahlen im Intervall [0,
1) abzàhlbar unendlich.

Was stimmt an dieser Überlegung nicht? Warum darf àhnlich argumentiert
werden um zum Cantor'schen Diskontinuum zu kommen?

Gruß
Albrecht Storz
 

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#1 Peter Niessen
18/09/2007 - 00:04 | Warnen spam
Am Mon, 17 Sep 2007 13:31:21 -0700 schrieb Albrecht:

Nach dem Intervallschachtelungssatz enthàlt die Schnittmenge dieser
Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl.



Nur mal als Anmerkung:
Was für ein Intervallschachtelungssatz?
Das ist doch (es gibt ihn nicht) schlichter Murx.
Falls du meinst es wàre kein Murx (man kann ja ahnen was du meinst):
Formuliere den Satz sauber und beweise ihn.
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen

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