Das Hamiltonsche Wirkungsprinzip

07/05/2011 - 09:58 von Super Plus | Report spam
Stellt man sich eine Lagrangefunktion L vor, dann soll A = Integral
dtL sein.


Die Idee war, daß A unter beliebigen Variationen der Trajektorien um
die Bahnen stationàr ist, wobei die Zeit ein fester Parameter ist, der
nicht mittransformiert wird.


Bahnen stationàr ?
Kopernikus làßt grüßen - so einfach geht's nicht !

Ich lehne das Hamiltonsche Wirkungsprinzip instinktiv ab !!

Sorry Niels Bohr - dein Schwachsinn ist DOCH NICHT mathematisch zu
beweisen !!!


Die Theorie sagt :


Um nun einige Untersuchungen hinsichtlich der Symmetrieeigenschaften
der mechanischen Systeme anstellen zu können, suchen wir eine
Formulierung der relativistischen Mechanik mit Hilfe des Hamiltonschen
Prinzip der kleinsten Wirkung.

Zunàchst erscheint es am einfachsten, auf manifeste Kovarianz zu
verzichten und das Prinzip in Analogie zur nichtrelativistischen
Mechanik zu formulieren. Dazu wird das Wirkungsfunktional definiert,
das alle möglichen Trajektorien $ \vec{x}(t)$ eines Punktteilchens wie
folgt in die reellen Zahlen abbildet:

$\displaystyle A[\vec{x}]=\int \d t L(\vec{x},\d_t \vec{x},t).$
(1.86)

Das Hamiltonsche Prinzip zeichnet nun die abhàngig von den
Anfangsbedingungen tatsàchlich durchlaufenen Bahnen dadurch aus, daß $
A$ unter beliebigen Variationen der Trajektorien um die Bahnen
stationàr ist, wobei die Zeit ein fester Parameter ist, der nicht
mittransformiert wird. Variieren wir also $ A$ gemàß dieser
Vorschrift. Die Endpunkte der Trajektorien werden dabei
definitionsgemàß festgehalten:

$\displaystyle \delta A[\vec{x}]=A[\vec{x}+\delta \vec{x}]-A[\vec{x}]\int \d t ... ...artial_{\vec{x}} L + \delta \d_t \vec{x}
\partial_{\d_t \vec{x}} L ight ].$ (1.87)

Wegen $ \delta t=0$ gilt nun

$\displaystyle \delta \d_t \vec{x}=\d_t \delta \vec{x},$ (1.88)

und wir können im zweiten Term in (1.88) partiell integrieren. Wegen
der Randbedingungen $ \delta \vec{x}(\pm \infty)=0$ an die Variation,
verschwindet der integralfreie Anteil, so daß wir schließlich

$\displaystyle \delta A[\vec{x}]=\int \d t \delta \vec{x} \left
[ \partial_{\vec{x}} L-\frac{\d}{\d t} \partial_{\d_t \vec{x}} L
ight ]$ (1.89)

erhalten.

Bezeichnet nun $ \vec{x}$ die tatsàchlich durchlaufene Bahn, muß
dieser Ausdruck für alle Variation $ \delta \vec{x}$ verschwinden, und
das kann nur der Fall sein, wenn in (1.89) die Klammer unter dem
Integral identisch verschwindet. So gelangt man zu den Euler-
Lagrangegleichungen

$\displaystyle \partial_{\vec{x}} L=\frac{\d}{\d t} \partial_{\d_t
\vec{x}} L.$ (1.90)

Die physikalisch entscheidende Frage ist nun, wie man die
Lagrangefunktion $ L$ bestimmt. Wir haben dazu zunàchst lediglich die
Struktur der Raumzeit zur Verfügung, die wir bereits über
Symmetrieprinzipien festgelegt haben.

Für ein freies Teilchen steht uns lediglich $ \vec{x}$ selbst
als ,,Baustein'' für die Lagrangefunktion zur Verfügung. Wir müssen
nun verlangen, daß ein freies Teilchen einem Poincaré-invarianten
Bewegungsgesetz folgt. Das Wirkungsprinzip vereinfacht diese Aufgabe
erheblich: Wir können einfach verlangen, daß die Wirkung Poincaré-
invariant sein möge1.11. Diese Forderung làßt sich nun wieder am
bequemsten dadurch erfüllen, daß das Differential $ \d t \; L$
Poincaré-invariant ist.

Zunàchst betrachten wir die Untergruppe der Raum-Zeit-Translationen.
Es soll also $ \d t \; L$ unter der Variation

$\displaystyle \delta t=$const$\displaystyle , \quad \delta \vec{x}$const (1.91)

invariant sein. Dies ist nur möglich, wenn $ L$ eine Funktion der
Geschwindigkeiten $ \vec{v}=\d_t \vec{x}$ allein ist, denn es ist ja
schon $ \delta \d t=\d \delta t=0$ unter den Variationen (1.91), und
es gilt $ \delta \vec{v}=\delta \d_t \vec{x}=\d_t \delta \vec{x}=0$.

Wir müssen weiter $ L=L(\partial_t \vec{x})$ so festlegen, daß $ \d t
\; L$ auch unter Lorentztransformationen invariant ist. Aus den
Vierervektorkoordinatendifferentialen können wir aber nun nur eine
Invariante bilden, nàmlich das Eigenzeitelement

$\displaystyle \d \tau = \sqrt{d x_{\mu} d x^{\mu}}=\d t \sqrt{1-
\vec{v}^2}$ (1.92)

Damit ist aber $ L \propto \sqrt{1-\vec{v}^2}$ festgelegt. Die
Proportionalitàtskonstante sollte negativ sein, damit das
Wirkungsfunktional ein Minimum besitzt, und die Dimension von $ L$
sollte die einer Energie sein, damit $ \d t \; L$ die Dimension einer
Wirkung erhàlt. Wir setzen also als Lagrangefunktion für ein freies
Teilchen

$\displaystyle L=-m \sqrt{1-\vec{v}^2}, \quad \vec{v}=\d_t \vec{x}$
(1.93)

an.

Die Euler-Lagrangegleichungen (1.90) ergeben dann

$\displaystyle \frac{\d}{\d t} \frac{\vec{v}}{\sqrt{1-\vec{v}^2}}=0.$
(1.94)

Also ist

$\displaystyle \frac{\vec{v}}{\sqrt{1-\vec{v}^2}}=\vec{A}=$const$
\displaystyle .$ (1.95)

Quadrieren dieser Gleichung ergibt dann

$\displaystyle \vec{v}^2=\frac{\vec{A}^2}{1+\vec{A}^2}=$const$
\displaystyle ,$ (1.96)

und dies in (1.94) ausgenutzt ergibt sofort, daß

$\displaystyle \vec{v}=$const (1.97)

sein muß. Damit ist aber das spezielle Relativitàtsprinzip erfüllt,
demzufolge ein freies Teilchen sich geradlinig gleichförmig bewegen
(oder in Ruhe verharren) muß. Unser Ansatz (1.93) erfüllt also die
Forderungen des speziellen Relativitàtsprinzips und ist demzufolge
eine korrekte Version eines relativistischen Variationsprinzips für
ein freies Teilchen.

Als nàchstes wollen wir mit dem speziellen Relativitàtsprinzip
vereinbare Wechselwirkungen mit àußeren Feldern aufsuchen.
Unter ,,àußeren Feldern'' verstehen wir solche Felder, die wir
irgendwie erzeugt denken, etwa ein elektromagnetisches Feld durch
Ladungs- und Stromverteilungen, wobei die Rückwirkung des untersuchten
Punktteilchens auf die Felder selbst vernachlàssigt werden kann. Ein
Beispiel ist etwa die Bewegung einzelner Elektronen im elektrischen
Feld eines Plattenkondensators oder dem Magnetfeld einer Spule, die
von makroskopisch großen Strömen durchflossen wird.

Dazu ist es nun von großem Vorteil, manifest kovariante Formulierungen
der Wirkung zu verwenden, d.h. die Lagrangefunktion manifest Lorentz-
invariant zu schreiben. Dies gelingt am einfachsten, indem man einen
skalaren Weltzeitparameter $ \lambda$ einführt und die Trajektorien in
der vierdimensionalen Raumzeit $ x^{\mu}(\lambda)$ betrachtet, wobei $
x^{\mu}$ die Zeit- und Raumkoordinaten bzgl. eines beliebigen
Inertialsystems bezeichnen. Es ist klar, daß dabei wie bei unserer
Formulierung mit der Eigenzeit $ \tau$ des Teilchens die scheinbare
Überzahl von einem Freiheitsgrad durch eine Nebenbedingung der Art
(1.68) reduziert wird. Letztlich sind ja die drei ràumlichen
Koordinaten die eigentlichen dynamischen Freiheitsgrade des
Punktteilchens.

Am elegantesten làßt sich das Wirkungsprinzip umformulieren, indem man
die allgemeine Unabhàngigkeit der Variation des Wirkungsfunktionals im
Hamiltonschen Sinne vom Parameter $ \lambda$ verlangt, der auch als
die Zeit $ t$ gewàhlt werden kann. Die vier Koordinaten $ x^{\mu}$
können dann frei variiert werden, und da die Wirkung stets dieselbe
ist, auch wenn man $ \lambda=t$ setzt, kann man sicher sein, stets
dasselbe dynamische System zu beschreiben. Man kann freilich auch die
Eigenzeit $ \tau$ selbst als Weltparameter wàhlen, nachdem die Euler-
Lagrangegleichungen aus dem Variationsprinzip bestimmt sind. Vorher
ist das nicht möglich, weil $ \tau$ kein von $ \vec{x}(t)$ bzw. $
x^{\mu}(\lambda)$ unabhàngiger Parameter ist.

Wir schreiben also die Wirkung in der Form

$\displaystyle A[x]=\int \d \lambda \; L(x,\dot{x}), \quad \dot{x}\d_{\lambda} x.$ (1.98)

Die unabhàngige Variation der vier Raumzeitkoordinaten bei
festgehaltenen Randpunkten führt dann wie bei der obigen Rechnung auf
die Euler-Lagrangegleichungen

$\displaystyle \frac{\d}{\d \lambda} \frac{\partial L}{\partial
\dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x}.$ (1.99)

Für das freie Teilchen ist sie wegen (1.93) durch

$\displaystyle L=-m \sqrt{\dot{x}^2}=-m \sqrt{\dot{x}_{\mu} \dot{x}
^{\mu}}$ (1.100)

gegeben, und die Euler-Lagrangegleichungen ergeben

$\displaystyle \frac{\d}{\d \lambda} \left (\frac{\dot{x}}
{\sqrt{\dot{x}^2}} ight)=0.$ (1.101)

Wie oben erhàlt man wieder die korrekte Lösung $ \vec{v}=0$. Dies ist
deshalb gewàhrleistet, weil für das freie Teilchen $ L$ eine von
erster Ordnung homogene Funktion von $ \dot{x}$ ist und folglich das
freie Wirkungsfunktional für alle Weltparameter $ \lambda$ identisch
ist.

Wir untersuchen nun die Bedingung an die Lagrangefunktion, die die
Unabhàngigkeit der Wirkung $ A$ von der Wahl des Weltparameters $
\lambda$ sicherstellt. Dazu variieren wir nun $ \lambda$ durch eine
infinitesimale ,,Umparametrisierung'':

$\displaystyle \lambda'(\lambda)=\lambda+\delta \lambda(\lambda).$
(1.102)

Nun vertauschen die Ableitung nach $ \lambda$ und die Variation gemàß
(1.102) nicht. In erster Ordnung in $ \delta$ haben wir nàmlich

$\displaystyle \delta \dot{x}=\frac{\d x}{\d \lambda'}-\frac{\d x}{\d
\lambda}=-... ... \lambda} \frac{\d \delta \lambda}{\d \lambda} = -
\dot{x} \dot{\delta \lambda}.$ (1.103)

Das Differential im Wirkungsintegral transformiert sich gemàß

$\displaystyle \d (\lambda+\delta \lambda)=\d \lambda (1+\dot{\delta
\lambda}),$ (1.104)

so daß die Variation der Wirkung durch

$\displaystyle \delta A=\int \d \lambda \left \{ (1+\dot{\delta
\lambda}) \left ... ...partial \dot{x}} \dot{x} \dot{\delta \lambda} +
\dot{\delta \lambda} L ight ]$ (1.105)

gegeben ist.

Nun liefert das Hamiltonsche Prinzip offensichtlich dieselben
Bewegungsgleichungen, wenn man die Lagrangefunktion um die totale
Ableitung einer Funktion $ \Omega(x,\lambda)$ nach $ \lambda$ àndert,
da dies in der Wirkung nur Randterme liefert, und beim Hamiltonschen
Prinzip die Werte der Weltlinie $ x(\lambda)$ am Rande des
Integrationsintervalls (hier der Einfachheit halber $ \lambda
ightarrow \pm \infty$) nicht variiert werden. Folglich ist also nach
partieller Integration von (1.105) zu verlangen, daß es eine Funktion
$ \Omega(x,\lambda)$ gibt, so daß

$\displaystyle \frac{\d L}{\d \lambda}=\frac{\d}{\d \lambda} \left
(\dot{x} \fra... ...ial \Omega}{\partial x} + \frac{\partial^2 \Omega}
{\partial \lambda^2} ight )$ (1.106)

ist. Das bedeutet, daß

$\displaystyle L=\dot{x} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}+\dot{x}
\frac{\part... ...\Omega}{\partial x} + \frac{\partial^2 \Omega}
{\partial \lambda^2} +A, \quad A=$const (1.107)

sein muß. Wir können nun obdA.

$\displaystyle \Omega=-\frac{A}{2} \lambda^2$ (1.108)

wàhlen, woraus dann die gesuchte Bedingung

$\displaystyle L=\dot{x}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$ (1.109)

folgt.

Dies ist nun sicher der Fall, wenn L eine homogene Funktion erster
Ordnung in $ \dot{x}$ ist, also wenn für einen beliebigen positiven
Parameter $ \sigma$ gilt1.12

$\displaystyle L(x,\sigma \dot{x})=\sigma L(x,\dot{x}).$ (1.110)

Es ist allerdings eine hinreichende, keine notwendige Bedingung.
 

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#1 Vogel
07/05/2011 - 11:33 | Warnen spam
Super Plus wrote in
news::

Stellt man sich eine Lagrangefunktion L vor, dann soll A = Integral
dtL sein.

Die Idee war, daß A unter beliebigen Variationen der Trajektorien um
die Bahnen stationàr ist, wobei die Zeit ein fester Parameter ist, der
nicht mittransformiert wird.

Bahnen stationàr ?



Wo soll das Problem liegen? Darin, dass du nicht weisst was das Wort
"stationàr" bedeutet? "Stationàr" bedeutet, invariabel in der Zeit.



Dass die Zeit nicht mittransformiert wird, bedeutet, man bleibt lokal in
der Klasse der inertialen Bezugsysteme. Man wendet also das
Äquivalenzprinzip an.

Kopernikus làßt grüßen - so einfach geht's nicht !



Aber sehr wohl.

Ich lehne das Hamiltonsche Wirkungsprinzip instinktiv ab !!



Ja, Instinkt ist ein gutes Argument ;-)



Liest man das eigentlich "Inschtinkt"?



Jedenfalls, so ein Argument stinkt, nach Dummheit.

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