Das Kalender 110915

14/09/2011 - 12:41 von WM | Report spam
Das einfach verstàndliche und unschuldig wirkende Sàtzchen "Die Tasse
gehört zur Menge aller Mengen." zog gleich von zwei Seiten das
Ungewitter auf sich, nàmlich zum einen aus den in KB110913/14
dargestellten Gründen und zum andern weil es sich angeblich nicht
gehört, zu einer Menge zu gehören - jedenfalls nach Meinung des Herrn
Bader, der da monierte: "... daß zu einer Menge nichts 'gehört',
sondern daß sie Elemente und Teilmengen hat, und daß dies beides etwas
grundlegend Unterschiedliches ist."
http://groups.google.com/group/de.s...3d1d21b3c#

Hier hat sich seit den Anfàngen Mengenlehre ein Perversionsprozess
vollzogen, wie man ihn auch in anderen gesellschaftlichen
Zusammenhàngen beobachtet, denn die Vàter der Mengenlehre wussten
noch, was sich gehört.

Der Mathematiker im besonderen hat eine tiefe Abneigung gegen solche
Argumentation mit Allgemeinbegriffen. Wenn für ihn irgend ein
Gegenstand "ganz" ist, so genügt es dafür, daß
genau feststeht, was zu ihm gehört, und was nicht. [Gerhard
Hessenberg: "Grundbegriffe der Mengenlehre", Sonderdruck aus den
"Abhandlungen der Fries'schen Schule", I. Band, 4. Heft, Vandenhoeck &
Ruprecht, Göttingen (1906) § 2]

Sei S die Menge aller derjenigen Elemente x in M, denen durch (phi)
ein Element y in N zugeordnet wird, so haben wir zu zeigen, daß jedes
Element von M zu S gehört. [a.a.O. § 37]

Daß, wie behauptet, Omega_mü eine Anfangszahl ist, ergibt sich nun
sofort: Gàbe es eine Zahl lambda unter Omega_mü, die mit Omega_mü
gleichmàchtig wàre, so gehörte sie noch zu M*, ihre Màchtigkeit
kappa_mü oder eine höhere daher zu M, gegen das soeben bewiesene.
[a.a.O. § 42]

In der Tat: kommt u‘ in U_0 vor, so gehört das dem Element u‘ von U_0
zugeordnete Element m‘ von M entweder zur ersten oder zur zweiten der
im vorletzten Absatz gekennzeichneten Klassen. [A. Fraenkel:
"Einleitung in die Mengenlehre", Springer, Berlin (1928) p. 69]

Man bezeichnet die (nach der Größe der Ordnungszahlen geordnete) Menge
aller zu einem Alef gehörigen Ordnungszahlen als die Zahlenklasse
dieses Alefs. [a.a.O. p. 192]

[...] Menge von Elementepaaren {m, n}, deren einer Bestandteil m je
ein Element von M darstellt, wàhrend der andere Bestandteil n stets
der Menge N angehört; [a.a.O. p. 314]

Unter einem "Grenzpunkt einer Punktmenge P" verstehe ich einen Punkt
der Geraden von solcher Lage, daß in jeder Umgebung desselben
unendlich viele Punkte aus P sich befinden, wobei es vorkommen kann,
daß er außerdem selbst zu der Menge gehört. [E. Zermelo: "Georg
Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen
Inhalts", Springer (1932) p. 98]

Und nun wird zum Beweise des in Rede stehenden Satzes ein
vollstàndiges Induktionsverfahren eingeleitet.
Man setze eine Menge M voraus, welche keinem ihrer Bestandteile
àquivalent ist; ich will zeigen, daß alsdann auch die aus M durch
Hinzufügung eines neuen Elementes l hervorgehende Menge M + l dieselbe
Eigenschaft hat, mit keinem ihrer Bestandteile àquivalent zu sein.
Sei N irgendein Bestandteil von M + l, so kann er zwei Fàlle
darbieten. 1) Es gehört das Element l mit zu N, [...]. 2) Es gehört l
nicht mit zu N; [a.a.O. p. 415]

[...] so entspricht jedem Elemente a von M eine bestimmte Untermenge
R(a) von M, welche außer a alle "auf a folgenden" Elemente enthàlt und
als der zu a gehörende "Rest" bezeichnet werden möge. [E. Zermelo:
"Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung", Math. Ann.
(1908) p. 110]

Herr Bader meint dagegen, "daß zu einer Menge nichts 'gehört' [...]
Nach ca. 8 Jahren intensiven Studiums noch nicht einmal diese
Banalitàt verinnerlicht zu haben, stellt alleine schon eine
bemerkenswerte Dumm- und Blödheitsleistung dar" {{worin ich mich - zu
meinem nicht geringen Trost - immerhin einig weiß mit den Kollegen
Cantor, Fraenkel, Hessenberg und Zermelo, die sich sogar noch lànger
als nur acht Jahre mit der Mengenlehre beschàftigt haben.}}

Es ist auch nicht so, dass "gehört" nur in alter, überholter Literatur
vorkàme. Allerdings ist die moderne Literatur meistens englisch
geschrieben: "Objects from which a given set is composed are called
elements or members of that set. We also say that they belong to that
set." [K. Hrbacek, T. Jech: "Introduction to Set Theory" Marcel Dekker
Inc., New York (1984) p. 2]

Wenn dies gehörig {{sic!}} berücksichtigt wird, so fallen alle von
Herrn {{Bader}} gemachten Einwànde [G. Cantor: "Bemerkungen mit Bezug
auf den Aufsatz: Zur Weierstraß-Cantorschen Theorie der
Irrationalzahlen", Math. Annalen 33 (1889) p. 476]

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Vogel
15/09/2011 - 04:36 | Warnen spam
WM wrote in
news::


Es ist auch nicht so, dass "gehört" nur in alter, überholter Literatur
vorkàme. Allerdings ist die moderne Literatur meistens englisch
geschrieben: "Objects from which a given set is composed are called
elements or members of that set. We also say that they belong to that
set." [K. Hrbacek, T. Jech: "Introduction to Set Theory" Marcel Dekker
Inc., New York (1984) p. 2]



Kann also ein "set" auch "member" von sich selbst sein?



Da steht nichts davon.



Die Menge aller Mengen müsste sich selber als Element enthalten, meinen
zumindest einige, zumindest jene die von Mengenlehre und Logik nichts
verstehen.

Ähnliche fragen