Das Kalenderblatt 090716

15/07/2009 - 19:34 von WM | Report spam
Es gibt schon im Reiche derjenigen Dinge, die keinen Anspruch auf
Wirklichkeit, ja nur auf Möglichkeit machen, unstreitig Mengen, die
unendlich sind. Die Menge aller Sàtze und Wahrheiten an sich ist, wie
sich sehr leicht einsehen làsst, unendlich; denn wenn wir irgend eine
Wahrheit, etwa den Satz, dass es Wahrheiten überhaupt gebe, oder sonst
jeden beliebigen, den ich durch A bezeichnen will, betrachten: finden
wir, dass der Satz, welchen die Worte "A ist wahr" ausdrücken, ein von
A selbst verschiedener sei; denn dieser hat offenbar ein ganz anderes
Subject als jener. Sein Subject nàmlich ist der ganze Satz A selbst.
Allein nach eben dem Gesetze, wie wir hier aus dem Satz A diesen von
ihm verschiedenen, den ich B nennen will, ableiten, làsst sich aus B
wieder ein dritter Satz C ableiten, und so ohne Ende fort. Der
Inbegriff all dieser Sàtze, deren jeder folgende zu dem nàchst
vorhergehenden in dem nur eben angegebenen Verhàltnisse steht, dass er
denselben zu seinem Subjecte erhebt und von demselben aussagt, dass er
ein wahrer Satz sei, dieser Inbegriff - sage ich - umfasst eine Menge
von Theilen (Sàtzen), die grösser als jede endliche Menge ist.

[Dr. Bernard Bolzano's Paradoxien des Unendlichen, herausgegeben aus
dem schriftlichen Nachlasse des Verfassers von Dr. Fr. Prihonsky,
Leipzig bei C. H. Reclam sen.1851, reprografischer Nachdruck:
Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt (1964) p. 13f]

http://www.amazon.de/s/ref=nb_ss_b?...chen&x&y

=
Es gibt unendliche Systeme.
Beweis *). Meine Gedankenwelt, d. h. die Gesamtheit S aller Dinge,
welche Gegenstand meines Denkens sein können, ist unendlich. Denn wenn
s ein Element von S bedeutet, so ist der Gedanke s', daß s Gegenstand
meines Denkens sein kann, selbst ein Element von S.
*) Eine àhnliche Betrachtung findet sich iin § 13 der Paradoxien des
Unendlichen von Bolzano (Leipzig 1851).

[Richard Dedekind: "Was sind und was sollen die Zahlen?", Vieweg,
Braunschweig 1887, 6. Aufl. 1930, 8. Aufl. 1960, p. 14.
Robert Fricke, Emmy Noether, Öystein Ore: Richard Dedekind, Gesammelte
mathematische Werke, Vieweg, Braunschweig 1930, p. 357]

http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dm...?IDDOCF393

==
Um aber die Existenz "unendlicher" Mengen zu sichern, bedürfen wir
noch des folgenden, seinem wesentlichen Inhalte von Herrn Dedekind **)
herrührenden Axiomes.
Axiom VII. Der Bereich enthàlt mindestens eine Menge Z, welche die
Nullmenge als Element enthàlt und so beschaffen ist, daß jedem ihrer
Elemente a ein weiteres Element der Form {a} entspricht, oder welche
mit jedem ihrer Elemente a auch die entsprechende Menge {a} als
Element enthàlt.
(Axiom des Unendlichen.)

**) "Was sind und was sollen die Zahlen?" § 5 Nr 66. Der von Herrn
Dedekind hier versuchte "Beweis" dieses Prinzips kann nicht
befriedigen, da er von der "Menge alles Denkbaren" ausgeht, wàhrend
für unseren Standpunkt nach Nr. 10 der Bereich B selbst keine Menge
bildet.

[E. Zermelo: "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I.",
Math. Ann. 65 (1908) 261-281, p. 266f]

http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dm...?IDDOC8200

Gruß, WM
 

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#1 Herbert Newman
15/07/2009 - 20:26 | Warnen spam
Am Wed, 15 Jul 2009 10:34:55 -0700 (PDT) schrieb WM:

Um aber die Existenz "unendlicher" Mengen zu sichern, bedürfen wir
noch des folgenden, seinem wesentlichen Inhalte von Herrn Dedekind
herrührenden Axiomes.

Axiom VII. Der Bereich enthàlt mindestens eine Menge Z, welche die
Nullmenge als Element enthàlt und so beschaffen ist, daß jedem ihrer
Elemente a ein weiteres Element der Form {a} entspricht, oder welche
mit jedem ihrer Elemente a auch die entsprechende Menge {a} als
Element enthàlt.

(Axiom des Unendlichen.)



Heute üblicherweise eher so:

Es gibt eine Menge x, die 0 [die leere Menge] enthàlt
und mit jeder Menge y auch die Menge y u {y}.

Symbolisch:

Ex(0 e x & Ay(y e x -> y u {y} e x)).

Wenn wir die Abkürzung

x' =df x u {x}

einführen, so nimmt das Unendlichkeitsaxiom die folgende Form an:

Ex(0 e x & Ay(y e x -> y' e x))

Wenn wir eine Menge X, für die

0 e X & Ax(x e X -> x' e X)

gilt, eine Nachfolgermenge nennen, dann besagt das Unendlichkeitsaxiom:

Es gibt eine Nachfolgermenge.

Definieren wir nun S als den Durschschnitt aller Nachfolgermengen, so
erhalten wir (leicht!):

0 e S & As(s e S -> s' e S).
"S ist eine Nachfolgermenge."

Nun können wir Dedekinds Beweis (_mutatis mutandis_) tatsàchlich gelten
lassen:

"_Es gibt unendliche Systeme_

Beweis: [D]ie Gesamtheit [bzw. Menge] S [...] ist unendlich. Denn wenn s
ein Element von S [ist], so ist [...] s' ebenfalls ein Element von S. Sieht
man dasselbe als Bild f(s) des Elementes s an, so hat die hierdurch
bestimmte Abbildung f von S [in S] die Eigenschaft, daß das Bild S' [von S
unter f] Teil von S ist; und zwar ist S' echter Teil von S, weil es
Elemente in S gibt [z. B. die Menge 0], welche von jedem solchen [...] s'
verschieden und deshalb nicht in S' enthalten sind. Endlich leuchtet ein,
daß, wenn a, b verschiedene Elemente von S sind, auch ihre Bilder a', b'
verschieden sind, daß also die Abbildung f [injektiv] ist. Mithin ist S
unendlich, w. z. b. w."

Hier verwendet Dedekind die bis heute übliche (auf ihn zurückgehende)
Definition der /unendlichen Menge/, um auf die Unendlichkeit von S zu
schließen.


Herbert

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