Das Kalenderblatt 090726

25/07/2009 - 22:19 von WM | Report spam
Man zeigt sehr leicht, daß die endlich definierten Elemente des
Kontinuums eine Teilmenge des Kontinuums von der Màchtigkeit aleph_0
bestimmen, ...
[...]
Da aber das Kontinuum seiner Definition nach nicht abzàhlbar ist, muß
es Elemente des Kontinuums geben, die nicht endlich definiert sein
können.
[...]
"Für ein beliebiges Element des Kontinuums ist eine endliche
Definition sicher vorhanden, oder dies ist nicht der Fall."
3. Die bisher entwickelten Annahmen führen in merkwürdig einfacher
Weise zu dem Schlusse, daß das Kontinuum nicht wohlgeordnet werden
kann.
Denken wir die Elemente des Kontinuums als wohlgeordnete Menge, so
bilden jene Elemente, die nicht endlich definiert werden können, eine
Teilmenge, die gewiß Elemente des Kontinuums enthàlt. Diese Teilmenge
ist aber dann auch wohlgeordnete und enthàlt ein und nur ein erstes
Element. Man beachte ferner, daß nach den jetzt gültigen Annahmen das
Kontinuum, wie jede wohlgeordnete Menge, eine lückenlose Folge
bestimmter Ordnungszahlen definiert; und zwar in der Weise, daß jedem
Elemente des Kontinuums eine und nur eine solche Ordnungszahl
entspricht, wie auch umgekehrt. Es ist demnach "die einem endlich
definierten Elemente des Kontinuums entsprechende Ordnungszahl", sowie
auch "das einer endlich definierten solchen Ordnungszahl entsprechende
Element des Kontinuums" endlich definiert. Es müßte demnach in jener
Folge eine erste nicht endlich definierbare Ordnungszahl vorhanden
sein. Dies ist aber unmöglich.
Es gibt nàmlich eine bestimmte (wohlgeordnete) Menge endlich
definierter Ordnungszahlen, die von der ersten ab lückenlos
aufeinander folgen. "Die der Größe nach auf alle diese zunàchst
folgende Ordnungszahl" wàre aber durch das Gesagte endlich definiert,
wàhrend sie doch - der Annahme nach - nicht endlich definiert werden
kann.
Die Annahme, daß das Kontinuum wohlgeordnet werden kann, hat demnach
zu einem Widerspruch geführt.

[Julius König: "Über die Grundlagen der Mengenlehre und das
Kontinuumproblem.", Math. Ann. 61 (1905) 156 - 160]

http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dm...?IDDOC6554

Gruß, WM
 

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#1 Happi Dada
26/07/2009 - 13:48 | Warnen spam
On 25 Jul., 22:19, WM wrote:
        Man zeigt sehr leicht, daß die endlich definierten Elemente des
Kontinuums eine Teilmenge des Kontinuums von der Màchtigkeit aleph_0
bestimmen, ...
[...]
        Da aber das Kontinuum seiner Definition nach nicht abzàhlbar ist, muß
es Elemente des Kontinuums geben, die nicht endlich definiert sein
können.
[...]
"Für ein beliebiges Element des Kontinuums ist eine endliche
Definition sicher vorhanden, oder dies ist nicht der Fall."
        3. Die bisher entwickelten Annahmen führen in merkwürdig einfacher
Weise zu dem Schlusse, daß das Kontinuum nicht wohlgeordnet werden
kann.
        Denken wir die Elemente des Kontinuums als wohlgeordnete Menge, so
bilden jene Elemente, die nicht endlich definiert werden können, eine
Teilmenge, die gewiß Elemente des Kontinuums enthàlt. Diese Teilmenge
ist aber dann auch wohlgeordnete und enthàlt ein und nur ein erstes
Element. Man beachte ferner, daß nach den jetzt gültigen Annahmen das
Kontinuum, wie jede wohlgeordnete Menge, eine lückenlose Folge
bestimmter Ordnungszahlen definiert; und zwar in der Weise, daß jedem
Elemente des Kontinuums eine und nur eine solche Ordnungszahl
entspricht, wie auch umgekehrt. Es ist demnach "die einem endlich
definierten Elemente des Kontinuums entsprechende Ordnungszahl", sowie
auch "das einer endlich definierten solchen Ordnungszahl entsprechende
Element des Kontinuums" endlich definiert. Es müßte demnach in jener
Folge eine erste nicht endlich definierbare Ordnungszahl vorhanden
sein. Dies ist aber unmöglich.
        Es gibt nàmlich eine bestimmte (wohlgeordnete) Menge endlich
definierter Ordnungszahlen, die von der ersten ab lückenlos
aufeinander folgen. "Die der Größe nach auf alle diese zunàchst
folgende Ordnungszahl" wàre aber durch das Gesagte endlich definiert,
wàhrend sie doch - der Annahme nach - nicht endlich definiert werden
kann.
        Die Annahme, daß das Kontinuum wohlgeordnet werden kann, hat demnach
zu einem Widerspruch geführt.

[Julius König: "Über die Grundlagen der Mengenlehre und das
Kontinuumproblem.", Math. Ann. 61 (1905) 156 - 160]

http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dm...?IDDOC6554

Gruß, WM



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