Das Kalenderblatt 090807

06/08/2009 - 22:36 von WM | Report spam
If a non-terminating decimal is to be handled or arranged in sequence
like a thing it is sufficient to know how to handle and arrange a
finite decimal of n digits, the number n being subject to no
restriction as to magnitude. The theorem would now demand that it is
impossible to set up any scheme for arranging all possible decimal
fractions of n digits in a definite order, n being subject to no
restriction as to magnitude. But such a theorem is obviously false,
for there are 10^n possible decimals of n digits [...] What is done in
the actual diagonal Verfahren when translated into this technique is
this: it is shown that given a proposed array and any number n, now
matter how large, it is then possible to set up a decimal the first n
digits of which are different from the first n digits of any decimal
to be found in the first n places of the proposed arry. But this is
clearly not what is required.

P.W. Bridgman: "A physicist's second reaction to Mengenlehre", Scripta
Mathematica, Vol. II, 1934.

Für endliche, wenn auch beliebig lange Folgen funktioniert Cantors
Diagonalverfahren nicht. Bridgmans Überlegung dürfte unbestritten
sein. Allerdings wird diese Tatsache auch von vielen Freunden der
Mengenlehre nicht erkannt. Hier ein Beispiel aus Borges'
Universalbibliothek:

"Wenn wir diese Beschrànkung aufheben und beliebig dicke Bücher
zulassen, dann werden wir sofort von dem eiskalten Hauch des
Unendlichen getroffen. Man kann nàmlich zeigen – und diese
Konstruktion geht auf Georg Cantor (1845 – 1918) zurück – daß die
Bibliothek nicht alle Bücher enthalten kann. Angenommen, wir hàtten
die Bücher der Bibliothek nach irgendeinem Schema geordnet. Wir
könnten nun alle Bücher in eine Liste eintragen, in der ersten Zeile
steht das erste Buch (die Zeile wàre dann eben recht lang), in der
zweiten das zweite Buch und so weiter. [...] Nun konstruieren wir ein
Buch, welches mit Sicherheit noch nicht in der Liste aufgeführt ist.
Dazu nehmen wir den ersten Buchstaben des ersten Buches, in unserem
Beispiel ein A. Wir beginnen
unser neu zu schreibendes Buch mit einem anderen Buchstaben, etwa mit
einem D. Als zweiten Buchstaben unseres Buches wàhlen wir einen, der
vom zweiten Buchstaben des zweiten Buches der Liste verschieden ist,
und so weiter. Wir erhalten damit eine Folge von Buchstaben, von der
wir sicher sein können, daß sie unter den ersten untersuchten Büchern
nicht vorkommen. Denken wir uns jetzt diesen Prozeß ins Unendliche
fortgesetzt – oder doch wenigstens so weit, daß die vorhandenen Bücher
aufgebraucht sind – dann haben wir in der Tat ein Buch, welches sich
von jedem Buch der Liste in mindestens einem Buchstaben unterscheidet.
Wir haben also gezeigt, daß es keinen solchen Katalog aller Bücher
geben kann!"

[Ulrich Eckhardt: "Unberechenbar – zufàllig – chaotisch. Die
Wissenschaft vom Unendlichen"]

http://www.math.uni-hamburg.de/home...regenz.pdf

Nein, beliebig beleibt, aber endlich, genügt nicht. (Alle endlichen
Elemente der Potenzmenge von |N bilden zusammen eine abzàhlbare
Menge.) Für jedes endliche n können sàmtliche Kombinationen von n
Buchstaben in die Bibliothek eingestellt werden. Cantors Diagonale
greift nicht *durch*. Und unendlich beleibte Bücher sind weder in
Bibliotheken noch sonstwo zu finden.

Gruß, WM
 

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#1 Ralf Bader
07/08/2009 - 06:21 | Warnen spam
WM wrote:

If a non-terminating decimal is to be handled or arranged in sequence
like a thing it is sufficient to know how to handle and arrange a
finite decimal of n digits, the number n being subject to no
restriction as to magnitude. The theorem would now demand that it is
impossible to set up any scheme for arranging all possible decimal
fractions of n digits in a definite order, n being subject to no
restriction as to magnitude. But such a theorem is obviously false,
for there are 10^n possible decimals of n digits [...] What is done in
the actual diagonal Verfahren when translated into this technique is
this: it is shown that given a proposed array and any number n, now
matter how large, it is then possible to set up a decimal the first n
digits of which are different from the first n digits of any decimal
to be found in the first n places of the proposed arry. But this is
clearly not what is required.

P.W. Bridgman: "A physicist's second reaction to Mengenlehre", Scripta
Mathematica, Vol. II, 1934.



Womit bewiesen ist, daß auch (spàtere) Nobelpreistràger Unsinn von sich
geben können. Cf.
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm...fm2517.pdf
Ach ja, wenn die empirische Realitàt widerspruchsfrei ist, dann liegt das
daran, daß Widersprüche nur zwischen Aussagen bestehen können. Hinsichtlich
der Widerspruchsfreiheit mathematischer Theorien nützt das aber garnichts.

W. Hughes, in sci.math.: "No set of natural numbers without a last element
[is finite]"
Prof. Dr. W. Mückenheim, mathematical mastermind of "Augsburg University of
Applied Science": "There is no natural number called "out a last element".

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