Das Kalenderblatt 090813

12/08/2009 - 16:53 von WM | Report spam
Ein gewichtiges Argument der Mengenlehrer gegen die sogenannten Cranks
(d. h. die Unglàubigen, die weder glauben, dass aktual unendliche
Mengen existieren, noch, dass deren axiomatische Postulierung irgend
sinnvolle Ergebnisse zeitigen könnte) besteht in der Behauptung, dass
letztere nicht nur der Mengenlehre, sondern auch einander heftig
widersprechen.

Das mag zuweilen wohl zutreffen, ist aber bei den Mengenlehrern nicht
anders und kann deswegen nicht als Argument für deren Superioritàt
dienen.

Die Logiker haben bisher nur mit solchen Ketten operiert, die aus
einer endlichen Zahl von Schlüssen bestehen. Seit Cantor aber
operieren die Mathematiker mit unendlichen Ketten; [A. Schoenflies:
"Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", Jahresbericht der
Deutschen Mathematiker-Vereinigung, (1906) 19 - 25.]

http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dm...img/?IDDOC$4547

Die mathematische Literatur findet sich, wenn man darauf acht gibt,
stark durchflutet von Ungereimtheiten und Gedankenlosigkeiten, die
meist durch das Unendliche verschuldet sind. [!] So wenn z. B. im
Sinne einer einschrànkenden Bedingung die Forderung betont wird, daß
in der strengen Mathematik nur eine endliche Anzahl von Schlüssen in
einem Beweise zulàssig sei - als ob es schon irgend jemandem einmal
gelungen wàre, unendlich viele Schlüsse auszuführen. [D. Hilbert:
"Über das Unendliche", Math. Annalen 95 (1925) 161 - 190]

http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dm...OC&816

Manche Mengenlehrer widersprechen sich sogar selbst (denn was ist
Zàhlen anderes als ein Schließen von n auf n + 1).

Dies sind die ersten transfiniten Zahlen Cantors, die Zahlen der
zweiten Zahlklasse, wie sie Cantor nennt. Zu ihnen gelangen wir also
einfach durch ein Hinüberzahlen über das gewöhnliche abzàhlbare
Unendlich, d. h. durch eine ganz naturgemàße und eindeutig bestimmte,
konsequente Fortsetzung des gewöhnlichen Zàhlens im Endlichen. [D.
Hilbert: "Über das Unendliche" (1925)]

Dort finden sich auch noch die folgenden Bemerkungen:

Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand
vertreiben können. [...] seine Theorie der transfiniten Zahlen; diese
erscheint mir aIs die bewundernswerteste Blüte mathematischen Geistes
und überhaupt eine der höchsten
Leistungen rein verstandesmàßiger menschlicher Tàtigkeit. Was hat es
nun damit für eine Bewandtnis? [...] das Unendliche findet sich
nirgends realisiert; es ist weder in der Natur vorhanden, noch als
Grundlage in unserem verstandesmàßigen Denken zulàssig - eine
bemerkenswerte Harmonie zwischen Sein und Denken.

Schon Kant hat gelehrt - und zwar bildet dies einen integrierenden
Bestandteil seiner Lehre - , daß die Mathematik über einen
unabhàngig von aller Logik gesicherten Inhalt verfügt und daher nie
und nimmer allein durch Logik begründet werden kann, [D. Hilbert:
"Über das Unendliche" (1925)]

I am quite an adversary of Old Kant, who, in my eyes has done much
harm and mischief to philosophy, even to mankind [G. Cantor an B.
Russell 19. 9. 1911]. Kants Leistungen werden also von Hilbert und
Cantor durchaus kontrovers beurteilt, Freges und Dedekinds Leistungen
sogar von Hilbert allein:

... nein: Brouwer ist nicht, wie Weyl meint, die Revolution, sondern
nur die Wiederholung eines Putschversuches mit alten Mitteln, der
seinerzeit, viel schneidiger unternommen, doch gànzlich mißlang und
jetzt zumal, wo die Staatsmacht durch Frege, Dedekind und Cantor so
wohlgerüstet und befestigt ist, von vornherein zur Erfolglosigkeit
verurteilt ist. [D. Hilbert: "Die Neubegründung der Mathematik. Erste
Mitt." Abhandl. d. Math. Seminars d. Univ. Hamburg, Bd. 1 (1922), S.
157-177 (1922)]

http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dm...?IDDOCB413

... daß die Mathematik über einen unabhàngig von aller Logik
gesicherten Inhalt verfügt und daher nie und nimmer allein durch Logik
begründet werden kann, weshalb auch die Bestrebungen von Frege und
Dedekind scheitern mußten. [D. Hilbert: "Über das Unendliche" (1925)]

Die wohlgerüstete Staatsmacht? Schon nach drei Jahren erkennbar
abgewirtschaftet?

Gruß, WM
 

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#1 Peter
12/08/2009 - 19:09 | Warnen spam
Bis auf den ersten Absatz, den dir jeder gute Lektor
ersatzlos streicht, ein durchaus gelungenes Kalenderblatt.

Das mag zum Teil einfach daran liegen, dass es Spaß macht,
Hilbert zu lesen: right or wrong, he's our Hilbert ;-)

... daß die Mathematik über einen unabhàngig von aller Logik
gesicherten Inhalt verfügt und daher nie und nimmer allein durch Logik
begründet werden kann, weshalb auch die Bestrebungen von Frege und
Dedekind scheitern mußten. [D. Hilbert: "Über das Unendliche" (1925)]

Die wohlgerüstete Staatsmacht? Schon nach drei Jahren erkennbar
abgewirtschaftet?



Why you're wrong about the right: Hilbert liegt jetzt fast 100
Jahre zurück, in seinen Ansichten sicher volle 100 Jahre, und
seit dem hat sich eine Menge getan. Unter anderem dank Hilbert.
Wir stehen heute auf seinen Schultern, auch dort, wo wir seine
Ansichten nicht teilen.

Gruss Peter

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