Das Kalenderblatt 090815

14/08/2009 - 16:09 von WM | Report spam
The cardinal contradiction is simply this: Cantor has a proof that
there is no greatest cardinal, and yet there are properties (such as
"x = x") which belong to /all/ entities. Hence the cardinal number of
entities having a property must be the greatest of cardinal numbers.
Hence a contradiction [1, p. 31] {aber nur /falls/ die unendliche
Folge der natürlichen Zahlen eine Kardinalzahl besitzt, was ja ebenso
unmöglich ist, denn dazu müsste man weiter zàhlen können, als man
zàhlen kann.}

An /existent/ class is a class having at least one member. [1, p. 47]
{{Surely you are joking Mr. Russell? The class without any member is
not among the existent classes?}}

Whether it is possible to rescue more of Cantor's work must probably
remain doubtful until the fundamental logical notions employed are
more thoroughly understood. And whether, in particular, Zermelo's
{{Auswahl-}} axiom is true or false {{ja, konnte ein Axiom für sich
genommen denn zu Ihrer Zeit noch wahr oder falsch sein, Herr Russell?
Suchte und vermutete man in der Mathematik damals etwa noch Wahrheit
und Sinn?}} is a question which, while more fundamental matters are in
doubt, is very likely to remain unanswered. The complete solution of
our difficulties, we may surmise, is more likely to come from clearer
notions in logic than from the technical advance of mathematics; but
until the solution is found we cannot be sure how much of mathematics
it will leave intact. [1, p 53] {{Ach, hàtte doch Herr Cantor niemals
beschlossen, Mathematiker zu werden!}}

Note added February 5th, 1906. - From further investigation I now feel
hardly any doubt that the no-classes theory affords the complete
solution of all the difficulties stated in the first section of this
paper. [1, p 53] {{Auch andere favorisierten zu jener Zeit das
Klassenlose. Davon ist nach 100 Jahren nicht viel übrig geblieben:
Kuba und Nordkorea. Aber die No-Classes-Theory wirkt auch heute noch
attraktiv, denn:}} The objections to the theory are [...] that a great
part of Cantor's theory of the transfinite, including much that it is
hard to doubt, is, so far as can be seen, invalid if there are no
classes or relations. [1, p. 45] {{Is there anything that it is hard
to doubt in Cantor's theory?}}

The solution of the difficulties which formerly surrounded the
mathematical infinite is probably the greatest achievement of which
our age has to boast. [2]

This is an instance of the amazing power of desire in blinding even
very able men to fallacies which would otherwise be obvious at once.
[3]

[1] [Bertrand Russell: "ON SOME DIFFICULTIES IN THE THEORY OF
TRANSFINITE NUMBERS AND ORDER TYPES", Proc. London Math. Soc. (2) 4
(1906) 29-53, Received November 24th, 1905. - Read December 14, 1905.]

http://books.google.de/books?id=NfR...mp;f=false

[2] Bertrand Russell: “The Study of Mathematics”. New Quarterly, Nov.
1907, 29-
44. Reprinted in B. Russell: "Philosophical Essays", Longmans, Green,
London" (1910) sowie B. Russell: "Mysticism and Logic and Other
Essays" Longmans,
Green & Co, London (1918). Nachdruck by Unwin, Paperbacks (1986 ).

[3] Bertrand Russell: "What I believe" aus "Why I am not a
Christian" (1957) p. 42
[Bertrand Russell: "Why I Am Not A Christian and Other Essays on
Religion and Related Subjects", (Paul Edwards, ed.), London: George
Allen & Unwin (1957)]

http://www.torrentz.com/4cfdc196f49...9dffd667d1

http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell

Gruß, WM
 

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#1 Herbert Newman
14/08/2009 - 22:29 | Warnen spam
Ein paar erlàuternde Worte zu diesen Zitaten unten.

Im Jahre 1906 gab es noch keine Lösung für die um 1900 bekannt gewordenen
"Paradoxien der Mengenlehre". Erst im Jahre 1908 stellten sowohl Bertrand
Russell als auch Ernst Zermelo zwei Ansàtze vor, die allem Anschein nach
die Probleme überwunden haben:

- Bertrand Russell, Mathematical Logic as Based on the Theory of Types.
- Ernst Zermelo, Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre.

Die beiden Ansàtze sind bekannt als (a) Typentheore und (b) axiomatische
Mengenlehre.

1906 stellte sich die Situation für Russell aber noch wie folgt dar:

The cardinal contradiction is simply this: Cantor has a proof that
there is no greatest cardinal, and yet there are properties (such as
"x = x") which belong to /all/ entities. Hence the cardinal number of
entities having a property must be the greatest of cardinal numbers.
Hence a contradiction.



Ja, die "Allmenge" machte Probleme. Weder in der ZFC noch in der TT gibt es
(daher) eine Allmenge. (Wohl aber "leere Mengen". :-)

An /existent/ class is a class having at least one member.



Ja, man merkt hier (bei solchen Formulierungen) eben, dass zu dieser Zeit
die axiomatische Mengenlehre noch im werden war. (Vgl. A. Kanamori, The
empty set, the singleton, and the ordered pair, 2003.)

Andererseits kann man es auch einfach als Definition des Ausdrucks
/existent class/ betrachten. Wenn wir dafür kurz "E!" schreiben, haben wir
also:

E!s :<-> Ex(x e s).

Ist z. B. t eine leere Menge, also

~Ex(x e t),

dann haben wir eben

~E!t.

Man muss nicht hinter jeder Formulierung Russells gleich tiefgehende onto-
logische Aussagen vermuten - wenn man die Principia Mathematika kennt, dann
weiß man das.

Whether it is possible to rescue more of Cantor's work must probably
remain doubtful until the fundamental logical notions employed are
more thoroughly understood.



Genau! (Sagte ich oben ja.)

And whether, in particular, Zermelo's [Auswahl-]axiom is true or false
is a question which, while more fundamental matters are in doubt, is
very likely to remain unanswered.



So ist/war es. Eben aus diesem Grund hat sich ja auch Zermelo um eine
axiomatische Grundlegung der Mengenlehre bemüht. Und dies ist ihm ja
schließlich auch gelungen! :-)

The complete solution of our difficulties, we may surmise, is more likely
to come from clearer notions in logic than from the technical advance of
mathematics;



Tatsàchlich sind die zwei oben erwàhnten Lösungen parallel (und unabhàngig
voneinander) entstanden! :-)

but until the solution is found we cannot be sure how much of mathematics
[bzw. Ergebmisse der "naiven" Cantorschen Mengenlehre] it will leave intact.



Tatsàchlich den größten Teil, wie Zermelo auf der ersten Seite seines oben
erwàhnten Aufsatzes anmerkt.

Note added February 5th, 1906. - From further investigation I now feel
hardly any doubt that the no-classes theory affords the complete
solution of all the difficulties stated in the first section of this
paper.



Wie so oft in seiner Karriere musste Russell auch diese Ansicht spàter
korrigieren. :-)

Immerhin hat er schon damals die damit verbundenen Schwierigkeiten gesehen:

The objections to the theory are [...] that a great part of Cantor's theory
of the transfinite, including much that it is hard to doubt, is, so far as
can be seen, invalid if there are no classes or relations.



Jo. Und sowohl die Typentheorie als auch die axiomatische ML hat (wie
erhofft und erwünscht) praktisch den gesamten Bestand an Theoremen der
ursprünglichen Cantorschen "transfiniten ML" "retten" können.

(Bertrand Russell: "ON SOME DIFFICULTIES IN THE THEORY OF
TRANSFINITE NUMBERS AND ORDER TYPES", Proc. London Math. Soc. (2) 4
(1906) 29-53, Received November 24th, 1905. - Read December 14, 1905.)




Herbert


P.S. Ich glaube eines der Mückenheimschen Probleme ist, dass er noch nicht
mal "halbgebildet" ist. Den größten Teil dessen, was er postet, versteht er
offenbar nicht bzw. falsch. :-)

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