Das Kalenderblatt 090816

15/08/2009 - 18:57 von WM | Report spam
[...] was darauf hinauslàuft, dass die Menge der ganzen Zahlen einfach
nicht groß genug ist, um die Menge der reellen Zahlen zu indizieren.
[...] Auf den ersten Blick scheint Cantors Argument nicht ganz
überzeugend. Gibt es keine Möglichkeit, es zu umgehen? Vielleicht
könnte man eine umfassendere Liste erhalten, wenn man die diagonal
konstruierte Zahl d einbezöge. Bei nàherer Prüfung wird man aber
erkennen, daß es nichts hilft, die Zahl d einzubeziehen, denn sobald
man ihr einen bestimmten Ort in der Tabelle zuweist, làßt sich die
Diagonalmethode auf die neue Tabelle anwenden, und eine neue, im
Adreßbuch nicht vorhandene Zahl d' làßt sich konstruieren, die nicht
in der Tabelle steht. Wie oft man auch die Konstruktion einer Zahl
vermittels der Diagonalmethode wiederholt und jene dann hinzufügt, um
eine "vollstàndigere" Tabelle zu erhalten, man hàngt doch immer an dem
nicht zu vermeidenden Haken von Cantors Methode.

[D.R. Hofstadter: "Gödel, Escher, Bach: ein endloses geflochtenes
Band", Klett-Cotta, Stuttgart, 5. Aufl. 1985, p. 453ff.]

Cantor ist eine tragische Figur. Zuerst entwarf er eine Methode zur
Konstruktion von reellen Zahlen, dann zeigte er, dass nicht alle
reellen Zahlen konstruiert werden können. Dies erkannte er aber
ebensowenig wie Columbus erkannte, dass er Amerika entdeckt hatte.
Dennoch ist kein Zweifel. Das Stichwort wurde oben gegeben: Eine
*neue* Zahl làsst sich konstruieren. (Es waren also nicht einmal alle
konstruierbaren Zahlen konstruiert.) Eine "umfassendere Liste" kann
man selbstverstàndlich damit erhalten. Niemand könnte nàmlich
verhindern, dass eine oder mehrere oder (abzàhlbar) unendlich viele
zur Verfügung stehende, d. h. existierende reelle Zahlen in Cantors
Liste eingefügt würden, so wie jeder spàte Gast in Hilberts Hotel ein
Unterkommen findet. Doch vor ihrer eigenen Konstruktion stand die
Diagonalzahl eben nicht zur Verfügung.

Cantors Haken besteht also darin, dass nicht alle reellen Zahlen
existieren. Dass auch nicht alle natürlichen Zahlen existieren, steht
auf einem anderen Blatt. Deren Existenz wird schlicht postuliert. Aber
statt einer alle natürlichen Zahlen vollstàndig enthaltenden Liste
könnte man auch eine alle reellen Zahlen vollstàndig enthaltende Kiste
annehmen.

Gruß, WM
 

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#1 Albrecht
16/08/2009 - 14:02 | Warnen spam
On 15 Aug., 18:57, WM wrote:
[...] was darauf hinauslàuft, dass die Menge der ganzen Zahlen einfach
nicht groß genug ist, um die Menge der reellen Zahlen zu indizieren.
[...] Auf den ersten Blick scheint Cantors Argument nicht ganz
überzeugend. Gibt es keine Möglichkeit, es zu umgehen? Vielleicht
könnte man eine umfassendere Liste erhalten, wenn man die diagonal
konstruierte Zahl d einbezöge. Bei nàherer Prüfung wird man aber
erkennen, daß es nichts hilft, die Zahl d einzubeziehen, denn sobald
man ihr einen bestimmten Ort in der Tabelle zuweist, làßt sich die
Diagonalmethode auf die neue Tabelle anwenden, und eine neue, im
Adreßbuch nicht vorhandene Zahl d' làßt sich konstruieren, die nicht
in der Tabelle steht. Wie oft man auch die Konstruktion einer Zahl
vermittels der Diagonalmethode wiederholt und jene dann hinzufügt, um
eine "vollstàndigere" Tabelle zu erhalten, man hàngt doch immer an dem
nicht zu vermeidenden Haken von Cantors Methode.

[D.R. Hofstadter: "Gödel, Escher, Bach: ein endloses geflochtenes
Band", Klett-Cotta, Stuttgart, 5. Aufl. 1985, p. 453ff.]

Cantor ist eine tragische Figur. Zuerst entwarf er eine Methode zur
Konstruktion von reellen Zahlen, dann zeigte er, dass nicht alle
reellen Zahlen konstruiert werden können. Dies erkannte er aber
ebensowenig wie Columbus erkannte, dass er Amerika entdeckt hatte.
Dennoch ist kein Zweifel. Das Stichwort wurde oben gegeben: Eine
*neue* Zahl làsst sich konstruieren. (Es waren also nicht einmal alle
konstruierbaren Zahlen konstruiert.) Eine "umfassendere Liste" kann
man selbstverstàndlich damit erhalten. Niemand könnte nàmlich
verhindern, dass eine oder mehrere oder (abzàhlbar) unendlich viele
zur Verfügung stehende, d. h. existierende reelle Zahlen in Cantors
Liste eingefügt würden, so wie jeder spàte Gast in Hilberts Hotel ein
Unterkommen findet. Doch vor ihrer eigenen Konstruktion stand die
Diagonalzahl eben nicht zur Verfügung.

Cantors Haken besteht also darin, dass nicht alle reellen Zahlen
existieren. Dass auch nicht alle natürlichen Zahlen existieren, steht
auf einem anderen Blatt. Deren Existenz wird schlicht postuliert. Aber
statt einer alle natürlichen Zahlen vollstàndig enthaltenden Liste
könnte man auch eine alle reellen Zahlen vollstàndig enthaltende Kiste
annehmen.

Gruß, WM



Hier auch eine schöne Quelle:

http://www.luna-tikk.de/zahlen/gesamt_zahlen.pdf

Auszug:

Hermann Weyl (1885-1955)
Eine Folge von Zahlen, die über jede bereits erreichte Grenze
hinauswàchst, ...
ist nichts weiter als ein Tor zur Unendlichkeit, das mannigfaltige
Möglichkeiten
eröffnet. Diese Folge bleibt aber immer im Status ihrer Schöpfung, und
sie ist
keine geschlossenes Gebilde von Dingen, die bereits bestehen. Dass wir
blind
das eine mit dem anderen gleichgesetzt haben, dies ist die wahre
Quelle all
unserer Schwierigkeiten, einschließlich der Antinomien. ... Brouwer
öffnete uns
die Augen und machte uns sehen, wie weit die klassische Mathematik -
untermauert vom Glauben an das Absolute, das weit über die
Möglichkeiten
menschlicher Konstruktion hinausgeht - wie weit also die klassische
Mathematik
die Reichweite der wirklichen Bedeutung und Wahrheit hinter sich
làsst, einer
Wahrheit, die auf Evidenz gegründet ist.

Gruß
Albrecht

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