Das Kalenderblatt 090817

16/08/2009 - 20:54 von WM | Report spam
Ich hàtte mit Ihnen unter Anderm gern über die Königschen und
Poincaréschen Versuche in der Mengenlehre gesprochen, die meiner
Meinung nach auf irrigen Grundsàtzen beruhen und nur geeignet sind,
Verwirrung anzurichten.
König will zwei Arten von reellen Zahlen unterscheiden; solche, die
„endliche Definitionen" zulassen und solche, die „unendliche
Definitionen" erfordern.
Eine jede Definition ist aber ihrem Wesen nach eine endliche, d. h.
sie erklàrt den zu bestimmenden Begriff durch eine endliche Anzahl
bereits bekannter Begriffe
B1, B2, B3, ...,Bn.
„Unendliche Definitionen" (die nicht in endlicher Zeit verlaufen) sind
Undinge.
Wàre Königs Satz, daß alle „endlich definirbaren" reellen Zahlen einen
Inbegriff von der Màchtigkeit alef_0 ausmachen, richtig, so hieße
dies, das ganze Zahlencontinuum sei abzàhlbar, was doch sicherlich
falsch ist.
Es fragt sich nun, welcher Irrthum liegt dem angeblichen Beweise
seines falschen Satzes zu Grunde?
Der Irrthum (welcher sich auch in der Note eines Herrn Richard im
letzten Hefte der Acta mathematica findet, welche Note Herr Poincaré
in dem letzten Hefte der Revue de Métaphysique et de Morale mit
Emphase herausstreicht) ist, wie mir scheint, dieser:
Es wird vorausgesetzt, dass das System {B} der Begriffe B, welche
eventuell zur Definition von reellen Zahlindividuen herangezogen
werden müssen, ein endliches oder höchstens abzàhlbar unendliches sei.
Diese Voraussetzung muß ein Irrthum sein, da sich sonst der falsche
Satz ergeben würde: „das Zahlencontinuum hat die Màchtigkeit alef_0"
Irre ich mich, oder habe ich Recht?
[Cantor an Hilbert, 8. August 1906]

Cantor irrte sich.

Definiert man die reellen Zahlen in einem streng formalen System, in
dem nur endliche Herleitungen und festgelegte Grundzeichen zugelassen
werden, so lassen sich diese reellen Zahlen gewiß abzàhlen, weil ja
die Formeln und die Herleitungen auf Grund ihrer konstruktiven
Erklàrungen abzàhlbar sind.
[Kurt Schütte, Kalenderblatt 090618]

Daher gibt es keine überabzàhlbare Menge von Zahlen. Übrigens ist auch
die Menge aller jemals konstruierten Diagonalzahlen abzàhlbar.

Zur Existenz von Zahlen.

Die mathematische Definition der Existenz: "Wenn etwas ohne
Widerspruch gedacht werden kann, dann existiert es", ist zu grob und
ungenau.

Die Existenz vieler Mengen kann ohne Widerspruch gedacht werden.
Daraus folgt aber nicht, dass alle Elemente dieser Mengen gedacht
werden können. Beispiel: Die Menge der ersten 10^1000 natürlichen
Zahlen. Diese Menge kann gedacht werden, nicht aber alle Elemente (z.
B. nicht solche, die zu ihrer Bezeichnung mehr als X+1 Bit an
Gedankenarbeit erfordern, wenn der Denkende nur maximal X Bit
aufbringen kann.) Andererseits ist ein sehr einfaches Verstàndnis
möglich, wenn nur der platonistische Absolutheitsanspruch aufgegeben
wird und die Liebe zu den Zahlen eher platonischen Charakter annimmt,
nàmlich das Folgende:

Wenn die Definition einer Zahl in einem Speicher existiert, dann
existiert die definierte Zahl in diesem Speicher.
Wenn die Definition einer Zahl in einem Speicher existieren kann,
dann /kann/ die betreffende Zahl in diesem Speicher existieren.
Wenn die Definition einer Zahl in einem Speicher nicht existieren
kann (weil die Definition der Zahl mehr Speicherplatz benötigt, als
der Speicher zur Verfügung stellt), dann kann die betreffende Zahl in
diesem Speicher nicht existieren.
Wenn die Definition einer Zahl nirgendwo existieren kann, dann
gibt es diese Zahl nicht.
Denn:

In mathematics description and object are equivalent
[Ludwig Wittgenstein, Kalenderblatt 090728]

oder anders ausgedrückt: Es gibt keine ungedachten Gedanken. (Sollte
diese Erkenntnis revolutionàr sein?)

Gruß, WM
 

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#1 Peter Niessen
17/08/2009 - 01:42 | Warnen spam
Am Sun, 16 Aug 2009 11:54:37 -0700 (PDT) schrieb WM:

Cantor irrte sich.

Definiert man die reellen Zahlen in einem streng formalen System, in
dem nur endliche Herleitungen und festgelegte Grundzeichen zugelassen
werden, so lassen sich diese reellen Zahlen gewiß abzàhlen, weil ja
die Formeln und die Herleitungen auf Grund ihrer konstruktiven
Erklàrungen abzàhlbar sind.
[Kurt Schütte, Kalenderblatt 090618]



Was ist das denn für ein Unfug?
Mit freundlichen Grüssen:
Peter Niessen

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