Das Kalenderblatt 090824

23/08/2009 - 22:00 von WM | Report spam
J'ai signalé autrefois, dans la Revue générale des sciences, un
paradoxe relatif à la théorie des ensembles. [...] Je voudrais
reprendre la question ici, et la faire suivre de quelques réflexions
sur ce qu'on nomme l'axiome Zermelo.
Mon paradoxe concerne l'ensemble E des nombres susceptibles d'être
définis par un nombre fini de mots.
Cet ensemble est dénombrable. En effet, la définition d'un nombre par
un nombre fini de mots est un arrangement avec répétition des 26
lettres de l'alphabet. Rangeons par ordre alphabétique, d'abord tous
les arrangements un à un, puis à la suite tous ceux deux à deux, puis
tous ceux trois à trois, etc. [...]
Mais, étant donné un ensemble dénombrable de nombres, on sait qu'on
peut trouver un nombre n'appartenant pas à l'ensemble.
Pou définir un pareil nombre, aux chiffres
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
faisons correspondre respectivement
1 2 3 4 5 6 7 8 1 1
à chaque chiffre x correspond un autre chiffre phi(x) et phi(x) est
distinct de x. [...]
Formons alors un nombre N [...] ainsi défini ne fait pas partie de E
[...]
Voilà donc un nombre N, défini par un nombre fini de mots et
n'appartenant pas à E, ce qui est contradictoire avec la définition de
E.
Telle est la contradiction
[...]
Si A est un ensemble infini non dénombrable, on peut toujours trouver
un ensemble dénombrable B contenu dans A.
Un ensemble infini, c'est un ensemble tel que si a_1 a_2 ... a_p sont
p éléments distincts de l'ensemble, on peut toujours trouver un
élément distinct des premiers, a_p+1 appartenant à l'ensemble.
D'après cela, dans l'ensemble A on peut toujours trouver une série
d'éléments a_1 a_2 ... a_n aussi longue qu'on voudra contenue dans
l'ensemble. [...]
Mais une suite infinie a_1 a_2 ... a_n ... n'est définie que si l'on
peut calculer a_n. [...] Pour démontrer complètement la proposition,
il faudrait donc prouver l'existence d'une règle permettant de
calculer a_n en fonction de n.
On peut il est vrai prendre arbitrairement a_n, mais on a l'embarras
du choix. Cet embarras se répète une infinité de fois. C'est là la
difficulté.
Dans les ensembles particulier on a en général la possibilité d'une
pareille règle. [...]
Mais la chose est-elle toujours possible?
Pour plus de clarté nous énoncerons l'axiome Zermelo ainsi. [...]
Dans une suite d'ensembles rangés, A_1 A_2 ... A_n ... sans éléments
communs, on peut prélever une suite d'éléments, a_1 a_2 ... a_n ...
l'élément a_n étant dans A_n.
Ces propositions constitueront pour nous l'axiome Zermelo.
[...]
On ne peut en effet se faire aucune idée d'un ensemble ne possédant
pas cette propriété.
Avec notre restriction l'axiome Zermelo se démontre immédiatement. En
effect reprenons les arrangements de lettres dont j'ai parlé au début
de ce traivail
[...]
Je considère ces question comme curieuses, mais absolument oiseuses en
mathématiques. {{Und damit könnte dieser Artikel schließen.}} La vraie
mathématique, celle qui nous fait connaître le monde extérieur, n'a
que faire des ensembles non dénombrables, et des objets non
susceptibles d'être définis par un nombre fini de mots. Ces objets
n'existent qu'en un sens : leur existence n'implique pas
contradiction. Et encore n'est-ce pas sûr.
En géométrie il est vrai on considère des segments de droite, des arcs
de courbe, etc. Ce sont des ensembles de points non dénombrables. Mais
tous les points obtenus par une construction géométrique quelconque
ont une position définie par un nombre fini des mots.

Jules Richard: "SUR UN PARADOXE DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES ET SUR
L'AXIOME ZERMELO", L'enseignement mathématique 9 (1907) 94-98.

http://de.wikipedia.org/wiki/Jules_Richard

Gruß, WM
 

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#1 Rainer Willis
24/08/2009 - 05:44 | Warnen spam
WM schrieb:
J'ai signalé autrefois, dans la Revue générale des sciences, un
paradoxe relatif à la théorie des ensembles. [...] Je voudrais
reprendre la question ici, et la faire suivre de quelques réflexions
sur ce qu'on nomme l'axiome Zermelo.



Wolfgang, das hat J. Richard vor über hundert Jahren geschrieben,
inzwischen hat sich die Welt weiterbewegt.

Mon paradoxe concerne l'ensemble E des nombres susceptibles d'être
définis par un nombre fini de mots.



Erinnert mich irgendwie an dein Argument, es könne nicht mehr als 10^80
natürliche Zahlen geben weil es nicht mehr Atome im Universum gibt.

Cet ensemble est dénombrable. En effet, la définition d'un nombre par
un nombre fini de mots est un arrangement avec répétition des 26
lettres de l'alphabet. Rangeons par ordre alphabétique, d'abord tous
les arrangements un à un, puis à la suite tous ceux deux à deux, puis
tous ceux trois à trois, etc. [...]



Ja.

Mais, étant donné un ensemble dénombrable de nombres, on sait qu'on
peut trouver un nombre n'appartenant pas à l'ensemble.
Pou définir un pareil nombre, aux chiffres
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
faisons correspondre respectivement
1 2 3 4 5 6 7 8 1 1
à chaque chiffre x correspond un autre chiffre phi(x) et phi(x) est
distinct de x. [...]
Formons alors un nombre N [...] ainsi défini ne fait pas partie de E
[...]
Voilà donc un nombre N, défini par un nombre fini de mots et
n'appartenant pas à E, ce qui est contradictoire avec la définition de
E.
Telle est la contradiction
[...]



Cantors 2. Diagonalbeweis. Et ce n'est pas une contradiction.

Si A est un ensemble infini non dénombrable, on peut toujours trouver
un ensemble dénombrable B contenu dans A.



"Wenn A eine überabzàhlbar unendliche Menge ist, so findet sich zu ihr
immer eine abzàhlbar [unendliche] Teilmenge B."
Was will er uns damit sagen? Oder wie hast du das verstanden?

Un ensemble infini, c'est un ensemble tel que si a_1 a_2 ... a_p sont
p éléments distincts de l'ensemble, on peut toujours trouver un
élément distinct des premiers, a_p+1 appartenant à l'ensemble.
D'après cela, dans l'ensemble A on peut toujours trouver une série
d'éléments a_1 a_2 ... a_n aussi longue qu'on voudra contenue dans
l'ensemble. [...]



Ich seh da überhaupt kein Argument, vielleicht kann mir jemand auf die
Sprünge helfen ...

Mais une suite infinie a_1 a_2 ... a_n ... n'est définie que si l'on
peut calculer a_n. [...] Pour démontrer complètement la proposition,
il faudrait donc prouver l'existence d'une règle permettant de
calculer a_n en fonction de n.
On peut il est vrai prendre arbitrairement a_n, mais on a l'embarras
du choix. Cet embarras se répète une infinité de fois. C'est là la
difficulté.



Òu? Das C wurde ZF doch nicht aus Ratlosigkeit hinzugefügt.

Dans les ensembles particulier on a en général la possibilité d'une
pareille règle. [...]
Mais la chose est-elle toujours possible?
Pour plus de clarté nous énoncerons l'axiome Zermelo ainsi. [...]
Dans une suite d'ensembles rangés, A_1 A_2 ... A_n ... sans éléments
communs, on peut prélever une suite d'éléments, a_1 a_2 ... a_n ...
l'élément a_n étant dans A_n.
Ces propositions constitueront pour nous l'axiome Zermelo.
[...]
On ne peut en effet se faire aucune idée d'un ensemble ne possédant
pas cette propriété.
Avec notre restriction l'axiome Zermelo se démontre immédiatement.



Wunschdenken.

En effect reprenons les arrangements de lettres dont j'ai parlé au début
de ce traivail
[...]
Je considère ces question comme curieuses, mais absolument oiseuses en
mathématiques. {{Und damit könnte dieser Artikel schließen.}}



Am besten hàtte er gar nicht erst angefangen.

La vraie
mathématique, celle qui nous fait connaître le monde extérieur, n'a
que faire des ensembles non dénombrables, et des objets non
susceptibles d'être définis par un nombre fini de mots. Ces objets
n'existent qu'en un sens : leur existence n'implique pas
contradiction. Et encore n'est-ce pas sûr.



Tja, "le monde extérieur" interessiert, pardonnez-moi, einen
Scheißdreck. Und sein Argument mit den Wörtern aus dem Pool von 26
Buchstaben ist genauso nutzlos wie dein Binàrbaum.

En géométrie il est vrai on considère des segments de droite, des arcs
de courbe, etc. Ce sont des ensembles de points non dénombrables. Mais
tous les points obtenus par une construction géométrique quelconque
ont une position définie par un nombre fini des mots.



Eben die Mathematikvorstellungen des 19. Jahrhunderts. Oder noch früher.

Jules Richard: "SUR UN PARADOXE DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES ET SUR
L'AXIOME ZERMELO", L'enseignement mathématique 9 (1907) 94-98.

http://de.wikipedia.org/wiki/Jules_Richard

Gruß, WM



Gruß Rainer

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