Das Kalenderblatt 090825

24/08/2009 - 22:03 von WM | Report spam
Leben und Werk
Jules Antoine Richard lehrte an den Gymnasien (Lycées) von Tours,
Dijon und Châteauroux. Er promovierte erst im Alter von 39 Jahren an
der Faculté des Sciences in Paris mit einem Thema zur Oberflàche von
Fresnel-Wellen. Er beschàftigte sich vor allem mit den Grundlagen der
Mathematik und Geometrie, wobei er sich auf Arbeiten von Hilbert, von
Staudt und Meray bezog. In einer philosophisch gepràgten Abhandlungen
über das Wesen der Axiome der Geometrie diskutiert, kritisiert und
verwirft er folgende Leitsàtze:
1) Die Geometrie basiert auf willkürlich gewàhlten Axiomen - es gibt
unendlich viele gleichwahre Geometrien.
2) Die Axiome der Geometrie werden von der Erfahrung geliefert. Dabei
findet eine deduktive Entwicklung auf experimenteller Grundlage
statt.
3) Die Axiome der Geometrie sind Definitionen (im Unterschied zu
(1)).
4) Axiome sind weder experimentell erzwungen noch willkürlich gewàhlt.
Sie sind eine a priori notwendige Voraussetzung, denn erst durch sie
ist Erfahrung überhaupt möglich (eine auch von Immanuel Kant
vertretene Anschauung).
Richard kam zu dem Ergebnis, dass die Begriffe der Identitàt zweier
Objekte und der Unverànderbarkeit eines Objektes zu vage sind und der
Pràzisierung bedürfen. Dies sollte durch Axiome geschehen.
Obwohl die nicht-euklidischen Geometrien um diese Zeit noch keine
Anwendung gefunden hatten (Albert Einstein hat seine allgemeine
Relativitàtstheorie erst 1915 aufgestellt), erklàrt Richard bereits:
"Wenn der Begriff des Winkels festgelegt wird, kann man den Begriff
der geraden Linie so wàhlen, dass die eine oder andere der drei
Geometrien wahr ist."
Über einen engeren Leserkreis hinaus bekannt geworden ist allerdings
nur das Richardsche Paradoxon, vor allem weil Poincaré ausgiebig davon
Gebrauch gemacht hat, um die Mengenlehre vergeblich zu desavouieren,
woraufhin die Verfechter der Mengenlehre sich genötigt sahen, diese
Angriffe zurückzuweisen.
Das Richardsche Paradoxon
Das Paradoxon wurde zuerst in einem Brief von Richard an Louis
Olivier, den Direktor der Zeitschrift Revue générale des sciences
pures et appliquées entwickelt und 1905 in der Abhandlung "Les
Principes des mathématiques et le problème des ensembles"
veröffentlicht. In den Principia Mathematica von Alfred North
Whitehead und Bertrand Russell wird das Paradoxon mit sechs anderen
Paradoxien zum Selbstbezug wiedergegeben. In einem der wichtigsten
Kompendien mit Werken zur mathematischen Logik, gesammelt von Jean van
Heijenoort, ist Richards Aufsatz ebenfalls enthalten. Das Richardsche
Paradoxon inspirierte Kurt Gödel und Alan Turing zu ihren berühmten
Arbeiten. Kurt Gödel betrachtete seinen Unentscheidbarkeits-Satz als
Analogon zum Richardschen Paradoxon.
Richard benützte zur Konstruktion seines Paradoxons eine Version des
Cantorschen Diagonalverfahrens, um eine endlich definierte Zahl zu
konstruieren, die in der Menge aller endlich definierten Zahlen nicht
enthalten ist.
Alle endlichen Definitionen und damit alle endlich definierten
Dezimalzahlen bilden eine abzàhlbare Menge. Diese Definitionen können
lexikalisch geordnet und die definierten Dezimalzahlen nummeriert und
in Form einer Liste zusammengefasst werden. In dieser Liste wird die n-
te Ziffer p der n-ten Dezimalzahl durch die Ziffer p + 1 ersetzt, wenn
p nicht gleich 8 oder 9 ist; andernfalls wird p durch die Ziffer 1
ersetzt. Hintereinander geschrieben bilden die ersetzten Ziffern eine
Dezimalzahl.
Diese Dezimalzahl in der ursprünglichen Liste nicht enthalten, weil
sie sich von jedem Listeneintrag an mindestens einer Stelle
unterscheidet, nàmlich von der n-ten Dezimalzahl an der n-ten Stelle.
Sie ist aber durch den vorhergehenden Absatz mit endlich vielen
Wörtern definiert worden, gehört also zur Menge aller endlich
definierbaren Dezimalzahlen.
Obwohl Jules Richard niemals eine andere Version seines Paradoxons
veröffentlicht hat, wird es in der Literatur hàufig mit dem Berryschen
Paradoxon oder einer Variante des Paradoxons von Grelling und Nelson
verwechselt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Jules_Richard
(Aus der Version vom 4. 5. 2007 entnommen)

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Stephan Gerlach
25/08/2009 - 22:56 | Warnen spam
WM schrieb:

Jules Antoine Richard


[...]
Richard benützte zur Konstruktion seines Paradoxons eine Version des
Cantorschen Diagonalverfahrens, um eine endlich definierte Zahl zu
konstruieren, die in der Menge aller endlich definierten Zahlen nicht
enthalten ist.
Alle endlichen Definitionen und damit alle endlich definierten
Dezimalzahlen bilden eine abzàhlbare Menge. Diese Definitionen können
lexikalisch geordnet und die definierten Dezimalzahlen nummeriert und
in Form einer Liste zusammengefasst werden. In dieser Liste wird die n-
te Ziffer p der n-ten Dezimalzahl durch die Ziffer p + 1 ersetzt, wenn
p nicht gleich 8 oder 9 ist; andernfalls wird p durch die Ziffer 1
ersetzt. Hintereinander geschrieben bilden die ersetzten Ziffern eine
Dezimalzahl.
Diese Dezimalzahl in der ursprünglichen Liste nicht enthalten, weil
sie sich von jedem Listeneintrag an mindestens einer Stelle
unterscheidet, nàmlich von der n-ten Dezimalzahl an der n-ten Stelle.
Sie ist aber durch den vorhergehenden Absatz mit endlich vielen
Wörtern definiert worden, gehört also zur Menge aller endlich
definierbaren Dezimalzahlen.
Obwohl Jules Richard niemals eine andere Version seines Paradoxons
veröffentlicht hat, wird es in der Literatur hàufig mit dem Berryschen
Paradoxon oder einer Variante des Paradoxons von Grelling und Nelson
verwechselt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Jules_Richard
(Aus der Version vom 4. 5. 2007 entnommen)



Und was schlußfolgert man nun daraus über die
"Menge aller endlich definierten Dezimalzahlen"?


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

Ähnliche fragen