Das Kalenderblatt 090913

13/09/2009 - 00:09 von WM | Report spam
Betrachten wir bei dieser Gelegenheit Cantors Diagonalverfahren, mit
dem er die Nichtabzàhlbarkeit der reellen Zahlen zwischen 0 und 1
bewies. Wir wenden das Verfahren auf die an der mü-ten Stelle
abgebrochenen Dezimalzahlentwicklungen an und schreiben die Liste auf,
deren Existenz Cantor annimmt, welche bei uns bereits bewiesen ist:
[...] Die reelle Zahl, [...] ist dann sicher von den ersten mü Zahlen
unserer Liste verschieden. Sie muß sich unter den spàteren Zahlen
befinden. {{Das ist eine sehr logische Schlussfolgerung. Merkwürdig,
dass Cantor und seine Jünger nie drauf kamen.}} Das Verfahren zeigt
lediglich, daß sigma größer als mü sein muß. Cantor hingegen kann aus
der Annahme, es gàbe eine Liste aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1,
hier auf einen Widerspruch schließen. {{Aus der Annahme 0 = 1 kann man
übrigens ebenfalls und genau so berechtigt auf einen Widerspruch
schließen.}}
Das ist ein Beispiel dafür, daß ein und derselbe Beweis zu ganz
verschiedenen Sàtzen führen kann, je nachdem welchen Begriffe zugrunde
liegen. (Bei uns ist das Ergebnis des Diagonalverfahrens übrigens kein
interessanter Satz, sigma > mü war uns schon bekannt.) {{Wenn es aber
die reellen Zahlen *gibt/gàbe*: sind/wàren die irrationalen dann
zahlreicher als die rationalen oder nicht?}}

Der Platonist entzieht sich der Rechtfertigungspflicht, indem er von
Entdeckungen spricht; solche kann man nur zur Kenntnis nehmen,
Erfindungen aber bedürfen der Legitimation. {{Nicht aber in dem Falle,
wo nur eine Ausrede erfunden wird, warum man nicht alle reellen Zahlen
(er-) finden kann - obwohl doch angeblich alle in Platons Ablage
existieren (Ablage P sozusagen).}} Leibniz gibt eine Rechtfertigung,
auch Kant fordert von den Ideen den Bezug zum Felde der Erfahrung.
{{Deshalb wohl war Cantor beiden gegenüber skeptisch.}}

[Detlef Laugwitz: "Zahlen und Kontinuum", BI, Zürich (1986)]

Gruß, WM
 

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#1 Rainer Rosenthal
13/09/2009 - 09:27 | Warnen spam
WM schrieb:
Wir wenden das Verfahren auf die an der mü-ten Stelle
abgebrochenen Dezimalzahlentwicklungen an und schreiben die Liste auf,
deren Existenz Cantor annimmt, welche bei uns bereits bewiesen ist:



Wie bitte?
Ich kenne das anders: Cantor nimmt nicht die Existenz einer Liste an,
sondern er widerlegt ihre Existenz. Er macht dazu allerdings eine
Annahme, wie das bei indirekten Beweisen durchaus nicht ungewöhnlich
ist.
Die Grammatik des obigen Satzes làsst bei allem Respekt für Differential-
Geometrie zu wünschen übrig.

Gruss,
RR

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