Das Kalenderblatt 090915

14/09/2009 - 13:24 von WM | Report spam
[...] den logischen Kurzschluß, der darin liegt, daß man das
potentielle Unendlich der unbegrenzt wachsenden Stellenzahl zu einem
aktualen Unendlich macht und die Wurzel aus 2 der "nicht abbrechenden
Dezimalzahl" 1,4142.../gleich/ setzt
[Detlef Laugwitz: "Zahlen und Kontinuum", BI, Zürich (1986)]

oder 2^-1 + 2^-2 + ... + 2^-k + ... der natürlichen Zahl 1 /gleich/
setzt.

Lim{n-->oo} 1/n = 0 bedeutet: die variable Zahl 1/n wird niemals 0.
Für sie gilt immer (oder in der momentan bevorzugten Sprechweise: für
all n gilt) 1/n > 0.

Aus demselben Grunde bedeutet
Lim{n-->oo} 2^-1 + 2^-2 + ... + 2^-n = 1
nichts anderes als
2^-1 + 2^-2 + ... + 2^-n = 1 - 2^-n
und 2^-n wird niemals 0.

Da keine letzte natürliche Zahl L definierbar ist und sie, wenn es sie
denn gàbe, ganz gewiss nicht
2^-L = 0
erfüllte, liegt in der Setzung
2^-1 + 2^-2 + ... + 2^-k + ... = 1
der nàmliche logische Kurzschluss, den Laugwitz tadelt.

If you disregard the very simplest cases, there is in all of
mathematics not a single infinite series whose sum has been rigorously
determined.
[Niels Henrik Abel zitiert in G. F. Simmons: "Calculus Gems", New York
(1992)]

With the exception of the geometric series, there does not exist in
all of mathematics a single infinite series whose sum has been
determined rigorously.
[Niels Henrik Abel zitiert in E. Maor: "To infinity and beyond",
Birkhàuser, Boston (1986)]

Ich weiß nicht, welches der beiden Zitate genauer ist - ist aber auch
egal. Im entscheidenden Teil stimmen die Versionen hinreichend
überein: "There is in all of mathematics not a single infinite series
whose sum has been rigorously determined" {{because the finished
infinite is not part of mathematics and unfinished series haven't
fixed sums}}.

Gruß, WM
 

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#1 Bobo
14/09/2009 - 17:41 | Warnen spam
WM wrote:

Lim{n-->oo} 1/n = 0 bedeutet: die variable Zahl 1/n wird niemals 0.
Für sie gilt immer (oder in der momentan bevorzugten Sprechweise: für
all n gilt) 1/n > 0.



Das bedeutet der Ausdruck sicher nicht wie Dir jeder Mathematikstudent
im ersten Semester, der etwas über die Theorie der reellen Zahlen hört,
sagen kann. "Lim{n-->oo} 1/n = 0" bedeutet, dass die Folge (1/n) den
Grenzwert 0 besitzt. Hinsichtlich dieser Bedeutung muss man noch nicht
'mal wissen, welche Werte die Folge annimmt.


Bobo

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