Das Kalenderblatt 090923

22/09/2009 - 13:10 von WM | Report spam
Vor allem ist die Bildung der wichtigsten Klasse paradoxer Mengen,
nàmlich der allzu umfassenden Mengen (Antinomien von Burali-Forti,
Russell usw.) durch unsere Axiome ausgeschlossen. Denn diese
gestatten, eine oder mehrere gegebene Mengen als Ausgangspunkt
nehmend, nur entweder die Bildung beschrànkterer Mengen durch
Aussonderung bzw. Auswahl, oder die Bildung von Mengen, die in eng
umschriebenem Maß sozusagen umfassender sind, durch Paarung,
Vereinigung, Potenzierung usw. Sind also Mengen wie die aller Mengen,
aller Ordnungszahlen, aller Dinge gewisser Art nicht von vornherein
gegeben, so kann auch nicht vermöge der Axiome auf ihre Existenz
geschlossen werden.
[A. Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre", Springer, Berlin (1923)
p. 214]

... a set is something obtainable from the integers (or some other
well-defined objects) by iterated application of the operation "set
of" ...
[K. Gödel: "What is Cantor’s continuum problem?" in P. Benecerraf and
H. Putnam, (eds.): "Philosophy of Mathematics: Selected
Readings" (1983) p. 474]

Bilden wir Mengen? Iterativ? Bildeten sich diese nicht selbst, sind
also schon immer dagewesen? Ist tatsàchlich ein zeitlicher Ablauf in
ZF immanent? Bald gibt es eine Menge, bald nicht. Darf man sie auch
zerstören? Das wàre ja fast schon der weithin verfemte MatheRealismus!

Betrachten wir die Alternativen:

Wenn eine Menge automatisch und ohne weiteres Zutun einfach da ist und
seit dem (matheologischen Urknall 1904/08 (eine àhnlich katastrophale
Zahlenkombination für die Mathematik wie 1914/18 für Deutschland))
vergnügt vor sich hin existierte, dann nützen Fraenkels und Gödels
Beschwörungen wenig. Denn dann ist mit dem Unendlichkeitsaxiom nicht
nur die Menge |N, sondern auch automatisch deren Potenzmenge P(|N) und
deren Potenzmenge P(P(|N)) = (P^2)(|N) und deren Potenzmenge (P^3)(|N)
usw. vorhanden. Das geht bis zu den größten Kardinalzahlen, die
existieren (die existieren dann ja auch alle!) oder postuliert werden
(was eigentlich überflüssig ist). Also "gibt es" (P^alle)(|N) - bis
zum bitteren Ende, d. h. bis zur Potenzmenge aller Potenzmengen von |
N.

Es ergibt sich der Widerspruch (bzw. er bestand schon immer, war
einfach da, unbemerkt anwesend - seit dem Urknall), dass diese Menge
sich selbst enthalten muss (so wie P(|N) als Element |N enthàlt), aber
nicht enthalten kann, weil sonst ihre Kardinalzahl größer als ihre
Kardinalzahl wàre, was selbst für transfinite Kardinalzahlen, die
bekanntlich einiges aushalten, was gewöhnliche Zahlen verzweifeln
làsst, nicht tolerierbar wàre. So geht es nicht! Diesen Cantorschen
Haken haben Fraenkel und Gödel wohl erkannt.

Die wohltemporierte Alternative lautet: Mengen werden in der Zeit
gebildet (auch Abbildungen wie |N --> |Q gehören dazu), manche Mengen
werden niemals gebildet, zum Beispiel weil sie keiner bilden will oder
bilden kann. Wenn Mengen nicht einfach nur "sind" (nur { } "ist" und
omega "ist" - per Axiom), sondern nur sukzessive gebildet oder
abgebildet werden können , dann kann die Bildung einer Menge A, die
ich so nenne, weil sie alle natürlichen Zahlen enthàlt (natürlich
nicht die Null, die vor 36 Jahren (?)den arglosen Ingenieuren in die
DIN 5473 eingeschwàrzt wurde) entweder direkt erfolgen, so wie hier
angedeutet:

|N > { }
|N \ {1} > {1}
...
{ } > A = |N

also

{1} U {2} U {3} U ... = A

oder mit einem Zwischenspeicher Z, wie hier angedeutet

|N > { } > { }
|N \ {1} > {1} > { }
(|N \ {1}) \ {2} > {2} > { 1 }
...

der stets ein Element enthàlt, weil er seinen Inhalt nicht preisgibt,
bevor ihm eine neue natürliche Zahl einverleibt wurde

Z = ...((...(((({1} U {2}) \ {1}) U {3}) \ {2}) ... U {n}) \ {n-1})...

und damit verhindert, dass alle natürlichen Zahlen sich in einer
abgeschlossenen Menge zusammenkuscheln können. Eine fehlt immer. Der
allein seligmachende Zustand

{ } > { } > A = |N

wird bei der Bildung von A einfach nicht erreicht nicht einmal
nach unendlich vielen Schritten (obwohl ein Beweis für alle n in |N
nach Cantor bereits komplett ist, wenn die Reihenfolge für jedes n in |
N bestimmt ist). Dieses Problem ist natürlich bei jeder iterativen
Bildung von Mengen wie A vorhanden.

Wie man es also drehet und wendet: Bereits màßige Schàrfe im
analytischen Denken erzeugt einen Mangel an Vertrauen in das
Transfinite.

Gruß, WM
 

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#1 Ralf Bader
22/09/2009 - 21:03 | Warnen spam
WM wrote:

Wie man es also drehet und wendet: Bereits màßige Schàrfe im
analytischen Denken erzeugt einen Mangel an Vertrauen in das
Transfinite.



Ja, Mückenheim. "Màßige Schàrfe im analytischen Denken", vulgo auch
Dàmlichkeit oder Blödheit genannt, mag allerlei Mangel erzeugen.

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