Das Kalenderblatt 091010

09/10/2009 - 17:05 von WM | Report spam
Das letzte Kalenderblatt enthielt Zermelos Beweis von 1904.
[E. Zermelo: "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann", Math.
Ann. 59 (1904) 514-516]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dm...img/?IDDOC(526
Hier nun der Schluss oder besser: das Ende von Zermelos Überlegungen.

Jede Menge, für welche die Gesamtheit der Teilmengen usw. einen Sinn
hat, darf als eine wohlgeordnete, ihre Màchtigkeit als ein "Alef"
betrachtet werden. So folgt also für jede transfinite Màchtigkeit
|M| = 2*|M|= aleph_0*|M| = |M|^2 usw.

{{Wie weiter? Immer weiter? Gibt es eine wohlgeordnete Menge aller
Ordinalzahlen? Welche sollte wohl fehlen? Eine wandelbare Grenze wird
ja von Platonisten abgelehnt.}}

Die weite Reise, welche Herbart seiner "wandelbaren Grenze"
vorschreibt, ist eingestandenermaßen nicht auf einen endlichen Weg
beschrànkt; so muß denn ihr Weg ein unendlicher, und zwar, weil er
seinerseits nichts Wandelndes, sondern überall fest ist, ein
aktualunendlicher Weg sein. Es fordert also jedes potentiale
Unendliche (die wandelnde Grenze) ein Transfinitum (den sichern Weg
zum Wandeln) und kann ohne letzteres nicht gedacht werden. Da wir uns
aber durch unsre Arbeiten der breiten Heerstraße des Transfiniten
versichert, sie wohl fundiert und sorgsam gepflastert haben, so öffnen
wir sie dem Verkehr und stellen sie als eiserne Grundlage, nutzbar
allen Freunden des potentialen Unendlichen, im besonderen aber der
wanderlustigen Herbartschen "Grenze" bereitwilligst zur Verfügung;
gern und ruhig überlassen wir die rastlose der Eintönigkeit ihres
durchaus nicht beneidenswerten Geschicks; wandle sie nur immer weiter,
es wird ihr von nun an nie mehr der Boden unter den Füßen schwinden.
Glück auf die Reise!
[G. Cantor, "GESAMMELTE ABHANDLUNGEN MATHEMATISCHEN UND
PHILOSOPHISCHEN INHALTS", Herausgegeben von ERNST ZERMELO, Springer,
Berlin (1932) p. 393]

{{Also folgen wir denn dieser freundlichen Einladung, betreten
wohlgemuth die eiserne Heerstraße und schreiten potent aber
impotenziell voran: Es gibt dort Mannichfaltigkeiten zu sehen: |N und P
(|N) und P(P(|N)) = P^2, P^3, ..., P^n, ..., P^omega, P^(omega +
1), ... "usw." Jede Potenzmenge enthàlt ihre Vorgàngerin als ein
Element. Auf der Heerstraße des Transfiniten sind sie alle zu finden
(wobei, in Klammern sei es angemerkt, die Vereinigung aller nicht
fehlen darf, sich selbst enthàlt und eine Kardinalzahl besitzt, eine
Kardinalzahl sage ich Ihnen - atemberaubend, die größer ist als sie
selbst). Das Unendliche in Vollendung. Danach kommt wirklich nichts
mehr! (Jedenfalls mathematisch betrachtet, müsste x =/= x der
Schlussstein sein. Es sei denn, ein Axiom für unerreichbare
Kardinalzahlen bahnt einen Tunnel in die matheologische Hölle der
geistlosen Geister, die nimmer Rast noch Ruhe finden.)

Doch einfacher und übersichtlicher: Gibt es nicht "alle" und noch
größere, aber wenigstens die bemitleidenswert kleine unendliche
geordnete Menge |N mit aleph_0 Elementen, so kann das erste Element
dieser Ordnung mit aleph_0 einfachen Transpositionen der leicht
verstàndlichen Form
1, 2, 3, ...
2, 1, 3, ...
2, 3, 1, ...
...
zum letzten gemacht werden, womit die unendliche geordnete Menge ein
letztes Element, also eine Ende aber keinen Sinn mehr hat.

Und noch einfacher: Der binàre Baum besitzt matheologisch betrachtet
mehr Pfade als Knoten, also mehr Pfade als sich vom Randpfad 0.000...
oder von einem von diesem unterschiedenen Pfad unterscheiden können.}}

Gruß, WM
 

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#1 Stephan Gerlach
16/10/2009 - 01:26 | Warnen spam
WM schrieb:

Doch einfacher und übersichtlicher: Gibt es nicht "alle" und noch
größere, aber wenigstens die bemitleidenswert kleine unendliche
geordnete Menge |N mit aleph_0 Elementen, so kann das erste Element
dieser Ordnung mit aleph_0 einfachen Transpositionen der leicht
verstàndlichen Form
1, 2, 3, ...
2, 1, 3, ...
2, 3, 1, ...
...
zum letzten gemacht werden, womit die unendliche geordnete Menge ein
letztes Element, also eine Ende aber keinen Sinn mehr hat.



Was heißt "zum letzten gemacht werden"; das ist wieder so eine
schwammige Formulierung.
Du betrachtest anscheinend die Menge |N als Folge(n), weil du von
"erstes Element" schreibst und offensichtlich auf die Reihenfolge der
natürlichen Zahlen Wert legst. Die n-te deiner Folgen hat dann die Form
2, 3, ..., n, 1[an n-ter Position], n+1, ...

Da ist die 1 noch nicht "das letzte Folgenelement". Es gilt sogar, daß
die 1 in *keiner* der Folgen das letzte Folgenelement ist.
Weiterhin gibt es zwar aleph_0 solcher Folgen, aber keine aleph_0-*te*
solche Folge (welche nach deiner Deutung die 1 als letztes Folgenelement
hàtte).


Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

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