Das Kalenderblatt 091012

11/10/2009 - 12:43 von WM | Report spam
We may list various difficulties with the grand foundation as
follows:
First, it does not adequately describe which are the relevant
mathematical structures to be built up from the starting point of set
theory. A priori from set theory there could be very many such
structures, but in fact there are a few which are dominant, one list
being provided by Bourbaki's "mother structures." [...]
Second, set theory is largely irrelevant to the practice of most
mathematics. Most professional mathematicians never have occasion to
use the Zermelo-Fraenkel axioms, while others do not even know them.
If they did know the axioms, they would rapidly observe that most of
the mathematics they do could be satisfactorily based on a much weaker
set of axioms [...] {{zum Beispiel auf überhaupt keine Axiome, sondern
auf die fundamentale Überlegung, dass alle Mathematik, sofern sie sich
auf die Realitàt bezieht, experimentell überprüfbar sein muss.
Doch was sagt Einstein?
"Insofern sich die Sàtze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen,
sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich
nicht auf die Wirklichkeit."
[A. Einstein: Geometrie und Erfahrung" in "Mein Weltbild" Carl Seelig
(Hrsg.), Ullstein, Frankfurt (1966) p. 119]
Diese Antwort gibt er auf die Frage: "Wie ist es möglich, daß die
Mathematik, die doch ein von aller Erfahrung unabhàngiges Produkt des
menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstànden der Wirklichkeit so
vortrefflich paßt? Kann denn die menschliche Vernunft ohne Erfahrung
durch bloßes Denken Eigenschaften der wirklichen Dinge ergründen?"
Und hier ist bereits die Pràmisse falsch. Die Mathematik ist nicht von
der Erfahrung unabhàngig. Ohne Erfahrung wàre das Gehirn leer. Die
Mathematik passt genau deswegen so vortrefflich, weil sie aus der
Realitàt (zu der übrigens auch das menschliche Denken und, wenn es das
denn gàbe, auch das erfahrungsunabhàngige bloße Denken gehört)
entstanden ist.}}
The Grand Set Theoretic Foundation of mathematics has other, more
technical disadvantages. It does not answer the difficulties presented
by the Gödel incompleteness theorem. {{Im Gegenteil! Ohne aktuale
Unendlichkeit zeigt sich, dass Gödels trostlose Sàtze falsch sind - es
gibt für jede mathematische Aussage, nachdem sie konstruiert wurde,
immer wieder Hoffnung auf einen Beweis.}} [...]
The set-theoretic approach is by no means the only possible
foundation for mathematics. {{It is by any means an impossible
foundation for mathematics.}}

[SAUNDERS MAC LANE: "MATHEMATICAL MODELS: A SKETCH FOR THE PHILOSOPHY
OF MATHEMATICS", The American Mathematical Monthly, Vol. 88, No. 7
(1981) 462-472.]
http://home.dei.polimi.it/schiaffo/...fmaths.pdf

Gruß, WM
 

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#1 Marc Olschok
12/10/2009 - 17:06 | Warnen spam
WM wrote:

We may list various difficulties with the grand foundation as
follows:
First, it does not adequately describe which are the relevant
mathematical structures to be built up from the starting point of set
theory. A priori from set theory there could be very many such
structures, but in fact there are a few which are dominant, one list
being provided by Bourbaki's "mother structures." [...]
Second, set theory is largely irrelevant to the practice of most
mathematics. Most professional mathematicians never have occasion to
use the Zermelo-Fraenkel axioms, while others do not even know them.
If they did know the axioms, they would rapidly observe that most of
the mathematics they do could be satisfactorily based on a much weaker
set of axioms [...]



Schön und gut.

{{zum Beispiel auf überhaupt keine Axiome, sondern
auf die fundamentale Überlegung, dass alle Mathematik, sofern sie sich
auf die Realitàt bezieht, experimentell überprüfbar sein muss.




Der Zitierende hàtte sich den Vorwurf unberechtigter Trittbrettfahrerei
ersparen können, wenn er in der Tat einen Blick in Kapitel IV von

Mac Lane, Moerdijk: Sheaves in geometry and logic
Universitext, Springer-Verlag, 1994

geworfen hàtte, um ansatzweise zu begreifen, was Mac Lane meint,
wenn er von "a much weaker set of axioms: schreibt.
Oder einfach ein paar Passagen im zitierten Text weitergelesen hàtte.

Doch was sagt Einstein?
"Insofern sich die Sàtze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen,
sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich
nicht auf die Wirklichkeit."
[A. Einstein: Geometrie und Erfahrung" in "Mein Weltbild" Carl Seelig
(Hrsg.), Ullstein, Frankfurt (1966) p. 119]
Diese Antwort gibt er auf die Frage: "Wie ist es möglich, daß die
Mathematik, die doch ein von aller Erfahrung unabhàngiges Produkt des
menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstànden der Wirklichkeit so
vortrefflich paßt? Kann denn die menschliche Vernunft ohne Erfahrung
durch bloßes Denken Eigenschaften der wirklichen Dinge ergründen?"
Und hier ist bereits die Pràmisse falsch. Die Mathematik ist nicht von
der Erfahrung unabhàngig. Ohne Erfahrung wàre das Gehirn leer. Die
Mathematik passt genau deswegen so vortrefflich, weil sie aus der
Realitàt (zu der übrigens auch das menschliche Denken und, wenn es das
denn gàbe, auch das erfahrungsunabhàngige bloße Denken gehört)
entstanden ist.}}



Manche Hirne sind auch mit Erfahrung nicht besser gefüllt als ohne.

The Grand Set Theoretic Foundation of mathematics has other, more
technical disadvantages. It does not answer the difficulties presented
by the Gödel incompleteness theorem. {{Im Gegenteil! Ohne aktuale
Unendlichkeit zeigt sich, dass Gödels trostlose Sàtze falsch sind - es
gibt für jede mathematische Aussage, nachdem sie konstruiert wurde,
immer wieder Hoffnung auf einen Beweis.}} [...]
The set-theoretic approach is by no means the only possible
foundation for mathematics. {{It is by any means an impossible
foundation for mathematics.}}

[SAUNDERS MAC LANE: "MATHEMATICAL MODELS: A SKETCH FOR THE PHILOSOPHY
OF MATHEMATICS", The American Mathematical Monthly, Vol. 88, No. 7
(1981) 462-472.]
http://home.dei.polimi.it/schiaffo/...fmaths.pdf

Gruß, WM

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