Das Kalenderblatt 091015

14/10/2009 - 13:49 von WM | Report spam
The natural numbers are uncountable?

Given any simply infinite sequence of unique natural numbers,
regardless of the specific identity of the natural number at each
position in the sequence, there is first element in the sequence, a
second element in the sequence, and so on, and so on, hence any simply
infinite sequence of unique natural numbers may be substituted for an
infinite sequence of the natural numbers in their natural order (i.e.,
1, 2, 3, . . .). Which must mean that any such sequence is countable.

On the other hand, if L is the set of all simply infinite sequences
formed from the two symbols '0' and '1'. Let M be the set of all
elements of L which are terminated in nothing but a string of zeros.
Reading from left to right, each unique element of M corresponds with
a unique element of the set of natural numbers. To see this, simply
strip off the terminating string of zeros and each element becomes a
natural number in base two - e.g.;-

1000000000. . . = 1 = one
0100000000. . . = 01 = two
1100000000. . . = 11 = three
etc.,

Next, substitute this set M for the set M used by Cantor in his 1891
proof that the power set of natural numbers are uncountable (which
originally used the set L whereas now we are using a countable subset
of L). Cantor's diagonal method will now create a member of this set M
which is guaranteed to not already be in the sequence. In order to
reveal this unlisted element the diagonal method will invert symbol
one in the first sequence, symbol two in the second sequence, symbol
three in the third sequence, etc., etc. Since each position in the
sequence corresponds to a natural number, and all natural numbers are
finite, the diagonal method can not invert an infinite number of
symbols to create the new element. Hence the new element must be zero
terminated - which must mean that it is a legitimate set of M which
was not included in the original sequence. Hence M is uncountable, but
M is also a 1-1 analogue of the set of natural numbers - hence the set
of natural numbers is uncountable.

Andrew Stanworth (2004)
http://sci.tech-archive.net/pdf/Arc...7/0708.pdf

Die Mengenlehrer entgegnen zu Recht: "An infinite number of digits can
be inverted by your method." Denn welches sollte wohl die erste Stelle
sein, an der nur noch Nullen aber keine "1" mehr erscheinen können? Es
gibt sie nicht.

Doch das ist kein Grund für die Mengenlehrer, sich zufrieden
zurückzulehnen, denn hier zeigt sich wieder einmal die Einàugigkeit
diesbezüglicher Argumentationen.

Natürlich gibt "es" auch nicht aktual unendlich viele Stelle, in dem
Sinne, dass ihre Anzahl alle natürlichen Zahlen übertràfe. Jede Stelle
der Diagonalzahl von AS gehört zu einer natürlichen Zahl. Das ganze
Missverstàndnis basiert (wieder einmal) auf der zum Überleben der
transfiniten Mengenlehre unverzichtbaren, manchen Mengenlehrern aus
Unkenntnis unterlaufenden, von anderen mit taschenspielerischer
Virtuositàt beherrschten Vertauschung von aktual und potentiell
unendlich.

Jede Stelle und alle vorhergehenden Stellen der von AS gebildete
Diagonalzahl gehört zu einer natürlichen Zahl. Die Diagonalzahl
besitzt eine natürliche Zahl von Stellen, doch diese Zahl ist
potentiell unendlich, das heißt, ihre Stellenzahl ist größer als die
jeder vorgelegten natürlichen Zahl. Oder genauer: die Diagonalzahl
kann so weit konstruiert werden, dass ihre Stellenzahl jede vorgelegte
natürliche Zahl übertrifft. Und dennoch wird sie in _jedem_
Konstruktionszustand von mindestens einer natürlichen Zahl
übertroffen.

Gruß, WM
 

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#1 Mengenlehrer
14/10/2009 - 23:52 | Warnen spam
WM schrieb:
Jede Stelle und alle vorhergehenden Stellen der von AS gebildete
Diagonalzahl ...



Wenn jemand mit den Initialen "AS" etwas zu Diagonalzahlen
schreibt, müssen sàmtliche Alarmglocken schrillen.


Und dennoch wird sie in _jedem_
Konstruktionszustand



Was heißt hier "_jedem_ Konstruktionszustand"?
Jede(r) MathematikerIn, wenn er/sie nicht ein Uraltmodell
ist, beherrscht mindestens omega-Tasking und omega-Threading.
D.h. es gibt nur einen einzigen Konstruktionsschritt.
Alle Diagonalstellen werden simultan invertiert.
So was làuft nicht auf jeder Hardware.

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