Das Kalenderblatt 091021

21/10/2009 - 13:42 von WM | Report spam
Hat man ein n-fach ausgedehntes stetig zusammenhàngendes Gebiet A und
in ihm eine überalldicht verbreitete, jedoch abzàhlbare Punctmenge
(M_nü), so ist für n >= 2 das Gebiet, welches nach Abzug der Menge
(M_nü) von A übrig bleibt, auch noch stetig zusammenhàngend, in dem
Sinne, dass je zwei Puncte N u. N' desselben durch unzàhlig viele
continuirliche, analytisch definirbare, innerhalb desselben Gebietes
verlaufende Linien verbunden werden können auf welchen also kein
einziger Punct der Menge (M_nü) liegt. Bewegung ist also in gewissem
Sinne auch in solchen Ràumen möglich..
Die allgemeine Richtigkeit dieses Satzes erkennt man am leichtesten
aus meinem Satze, dass, wenn eine reelle Grössenreihe
omega_1, omega_2, ..., omega_nü
vorliegt, in jedem Intervall (alpha, beta) Grössen eta vorkommen,
welch keinem omega-nü gleich sind.
[Cantor an Dedekind, 7. 4. 1882]

{{Nein, dieser Satz hat mit der Kontinuitàt von A \ (M_nü) nichts zu
tun, denn wie man leicht sieht, kann in A auch die überabzàhlbare
Menge aller Punkte mit rein transzendenten Koordinaten entfallen, ohne
dass die Kontinuitàt leidet. Der Beweis steht im Anhang von:
["On Cantor's important proofs", arXiv, math.GM/0306200]
http://arxiv.org/ftp/math/papers/0306/0306200.pdf
p. 9-12.}}

An diese Sàtze knüpfen sich Erwàgungen über die Beschaffenheit des der
realen Welt, zum Zwecke begrifflicher Beschreibung und Erklàrung der
in ihr vorkommenden Erscheinungen, zugrunde zu legenden
dreidimensionalen Raumes. Bekanntlich wird derselbe sowohl wegen der
in ihm auftretenden Formen, wie auch namentlich mit Rücksicht auf die
darin vor sich gehenden Bewegungen als durchgàngig stetig angenommen.
Diese letztere Annahme besteht [...] in nichts anderem, als daß jeder
Punkt, dessen Koordinaten x, y, z in bezug auf ein rechtwinkliges
Koordinatensystem durch irgendwelche bestimmte reelle, rationale oder
irrationale Zahlen vorgegeben sind, als wirklich zum Raume gehörig
gedacht wird, wozu im allgemeinen kein innerer Zwang vorliegt und
worin daher ein freier Akt unserer gedanklichen Konstruktionstàtigkeit
gesehen werden muß. Die Hypothese der Stetigkeit des Raumes ist also
nichts anderes, als die an sich willkürliche Voraussetzung der
vollstàndigen, gegenseitig-eindeutigen Korrespondenz zwischen dem
dreidimensionalen rein arithmetischen Kontinuum (x, y, z) und dem der
Erscheinungswelt zugrunde gelegten Raume.
[G. Cantor: "Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten Nr. 3",
Math. Ann. 20 (1882) 113-121.]

{Der Raum wird sich nicht darum scheren, was Mathematiker ihm
zubilligen oder zumuten. Er ist wie er ist - mit oder ohne freie Akte
der Konstruktionstàtigkeit.}}

Gruß, WM
 

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#1 Carsten Schultz
22/10/2009 - 12:30 | Warnen spam
WM schrieb:
Hat man ein n-fach ausgedehntes stetig zusammenhàngendes Gebiet A und
in ihm eine überalldicht verbreitete, jedoch abzàhlbare Punctmenge
(M_nü), so ist für n >= 2 das Gebiet, welches nach Abzug der Menge
(M_nü) von A übrig bleibt, auch noch stetig zusammenhàngend, in dem
Sinne, dass je zwei Puncte N u. N' desselben durch unzàhlig viele
continuirliche, analytisch definirbare, innerhalb desselben Gebietes
verlaufende Linien verbunden werden können auf welchen also kein
einziger Punct der Menge (M_nü) liegt. Bewegung ist also in gewissem
Sinne auch in solchen Ràumen möglich..
Die allgemeine Richtigkeit dieses Satzes erkennt man am leichtesten
aus meinem Satze, dass, wenn eine reelle Grössenreihe
omega_1, omega_2, ..., omega_nü
vorliegt, in jedem Intervall (alpha, beta) Grössen eta vorkommen,
welch keinem omega-nü gleich sind.
[Cantor an Dedekind, 7. 4. 1882]

{{Nein, dieser Satz hat mit der Kontinuitàt von A \ (M_nü) nichts zu
tun, denn wie man leicht sieht, kann in A auch die überabzàhlbare
Menge aller Punkte mit rein transzendenten Koordinaten entfallen, ohne
dass die Kontinuitàt leidet. Der Beweis steht im Anhang von:
["On Cantor's important proofs", arXiv, math.GM/0306200]
http://arxiv.org/ftp/math/papers/0306/0306200.pdf
p. 9-12.}}




Also:

Cantor: Für n>1 und M eine beliebige abzàhlbare Teilmenge von R^n ist
R^n \ M zusammenhàngend.

Mückenheim: Das hat mit dem Zusammenhang von R^n \ M nichts zu tun,
denn ich kenne auch eine überabzàhlbare dichte Teilmenge M von R^n, so
dass R^n \ M nicht zusammenhàngend ist.

Selbst wenn man das in „Das hat mit der Abzàhlbarkeit von M nichts zu
tun, denn ich kenne auch eine überabzàhlbare dichte Teilmenge M von R^n,
so dass R^n \ M nicht zusammenhàngend ist.“ abàndert, muss man sich über
die Logik wundern.

Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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