Das Kalenderblatt 091028

27/10/2009 - 07:53 von WM | Report spam
Goodsteinfolgen (Ende): Der Konvergenz"beweis".

a'' = w^(w^1 + 1) + w^w - 1
w^w - 1 erzwingt nun die Verminderung von w^w um 1. Wie geht das? Wenn
man von Unendlich 1 abzieht, hat man doch immer noch unendlich!?

Dazu sagt die Mengenlehre:

Diese Überlegung enthàlt einen Denkfehler: Wir ziehen nicht jedesmal
Eins ab! Das tun wir nàmlich nur, wenn die Ordinalzahl einen Vorgànger
hat, also eine um Eins kleinere Ordinalzahl. Sobald wir aber bei einer
Grenz-Ordinalzahl wie beispielsweise w ankommen, gibt es keinen
Vorgànger. Die nàchstkleinere Ordinalzahl wird einfach eine der
unendlich vielen Ordinalzahlen sein, die kleiner als die Grenzzahl
sind. Von dieser Zahl aus können wir dann wieder herunterzàhlen, bis
die nàchste Grenzzahl in endlich vielen Schritten erreicht ist und der
nàchste Sprung nach unten bevorsteht.

Es ist schon etwas verwirrend: Zàhlt man von unten nach oben, so kann
man unendlich lange zàhlen, ohne die nàchste Grenzzahl zu erreichen,
denn man findet immer einen Nachfolger, der kleiner als die nàchste
Grenzzahl ist. Hat man dagegen eine absteigende Folge von
Ordinalzahlen, so muss man bei jeder Grenzzahl einen Sprung nach unten
machen, denn einen direkten Vorgànger gibt es nicht. [...] Allgemein
gilt: Jede strikt absteigende Folge von Ordinalzahlen erreicht nach
endlich vielen Schritten ihr kleinstes Folgenelement und bricht dann
ab. [...] Wenn man sich die Beweismethode auf diese Weise
veranschaulicht, so scheint sie vollkommen natürlich zu sein.

[Jörg Resak: "Die Grenzen der Berechenbarkeit, Kapitel 4, Die
Fundamente der Mathematik 6, Goodsteinfolgen, Ordinalzahlen und
transfinite Induktion", (2008)]
http://www.joergresag.privat.t-onli...chap46.htm

{{Das ist der Clou: Aufwàrts zàhlen erfordert unendlich viele Schritte
(und noch viel mehr), abwàrts geht's von jedem Punkt in endlich vielen
Schritten. Ein Beweis für die alte Pilotenweisheit: Runter kommen sie
immer. Hier der Verbraucher-Tipp der Woche: Leihen Sie sich omega
Euros. Bei der Rückzahlung springen Sie dann gleich auf 1. Wieder eine
schöne und volkswirtschaftlich wertvolle Anwendung der Mengenlehre.
Doch Spaß beiseite: Wenn jede wohlgeordnete Menge, ohne eine für den
Goodstein-Beweis und auch sonst signifikante Lücke sich von oben so
herunterzàhlen làsst, dann ist der Beweis dafür erbracht, dass jede
wohlgeordnete Menge nur endlich viele signifikante Elemente enthàlt.
Und da jede Menge wohlgeordnet werden kann ... Aber wir wollten ja
ernst bleiben!}}

Gruß, WM
 

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#1 Rainer Rosenthal
27/10/2009 - 08:44 | Warnen spam
WM schrieb:

Und da jede Menge wohlgeordnet werden kann ...
Aber wir wollten ja ernst bleiben!}}



Eine wohlgeordnete Menge ist etwas anderes als eine Menge,
die wohlgeordnet werden kann.

Nehmen wir doch das handliche Beispiel Q+ = Menge der rationalen
Zahlen, d.h. der reellen Zahlen p/q mit teilerfremden natürlichen
Zahlen p und q. Ihre Ordnung ist die der reellen Zahlen, und
weil die Teilmenge aller (n-1)/n kein kleinstes Element hat, ist
Q+ nicht wohlgeordnet.
Bildet man Qp := Menge der Paare (p,q) mit teilerfremden natürlichen
Zahlen p und q, dann ist das eine Teilmenge aller Paare (m,n) mit
beliebigen natürlichen Zahlen m und n. Für diese gibt es die Zickzack-
Ordnung, und daraus resultierend eine Ordnung für die Teilmenge Qp.
Diese ist eine sehr einfache Wohlordnung.

Q+ und Qp sind als Mengen gesehen nicht voneinander unterscheidbar.
Man kann in einfacher Weise durch p/q <--> (p,q) eine Beziehung
zwischen ihnen herstellen, die es erlaubt, Q+ mit einer Wohordnung
und Qp mit einer nicht-Wohlordnung zu versehen.

Gruß,
Rainer Rosenthal

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