Das Kalenderblatt 091107

06/11/2009 - 11:53 von WM | Report spam
Wir bilden die Grundzeichen in eineindeutiger Weise auf natürliche
Zahlen ab. {{Gödel bedient sich eines}} formalen Systems P, für
welches wir die Existenz unentscheidbarer Sàtze nachweisen wollen. P
ist im wesentlichen das System, welches man erhàlt, wenn man die
Peanoschen Axiome mit der Logik der PM überbaut (Zahlen als
Individuen, Nachfolgerrelation als undefinierten Grundbegriff).
{{Gödel codiert jedes Zeichen mit einer natürlichen Zahl. Er ordnet
jeder Zeichenkette eindeutig eine Gödelnummer G zu (die er natürlich
noch nicht so nennt), indem die Codezahl des n-ten Zeichens als
Exponent der n-ten Primzahl auftritt.
Beispiel: Seien a, b, c die Codezahlen der Zeichen A, B, C, so ist
G(ABC) = 2^a * 3^b * 5^c
Gödel codiert die Grundzeichen: "0" durch 1, "f" durch 3, ..., ")"
durch 13, die Zahlen durch Primzahlen p > 13, Klassen von Zahlen
durch Quadrate der p usw. Zum Beispiel bedeutet ff0 "der zweite
Nachfolger von 0" und tràgt die Gödelnummer 2^3 * 3^3 * 5^1 = 1080.
Das Gleichheitszeichen verwendet Gödel nicht als Grundzeichen, sondern
stellt es nach dem Vorgang der PM
http://quod.lib.umich.edu/cache/a/a...tif.20.pdf
dar: This definition states that x and y are to be called identical
when every predicative function satisfied by x is also satisfied by y.
http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/tex...istmath;q1.01;rgn=full%20text;idno=aat3201.0001.001;didno=aat3201.0001.001;view=pdf;seq000198
}}
Dementsprechend ist dann eine Formel eine endliche Folge natürlicher
Zahlen und eine Beweisfigur eine endliche Folge von endlichen Folgen
natürlicher Zahlen. Die metamathematischen Begriffe (Sàtze) werden
dadurch zu Begriffen (Sàtzen) über natürliche Zahlen bzw. Folgen von
solchen und daher (wenigstens teilweise) in den Symbolen des Systems
PM selbst ausdrückbar. [...] Man kann z. B. eine Formel F(v) aus PM
mit einer freien Variablen v (vom Typus einer Zahlenfolge) angeben, so
daß F(v) inhaltlich interpretiert besagt: v ist eine beweisbare
Formel. Nun stellen wir einen unentscheidbaren Satz des Systems PM,
d.h. einen Satz A, für den weder A noch non-A beweisbar ist,
folgendermaßen her:
Eine Formel aus PM mit genau einer freien Variablen, u. zw. vom Typus
der natürlichen Zahlen (Klasse von Klassen) wollen wir ein
Klassenzeichen nennen. Die Klassenzeichen denken wir uns irgendwie in
eine Folge geordnet, bezeichnen das n-te mit R(n) und bemerken, daß
sich der Begriff ,,Klassenzeichen" sowie die ordnende
Relation R im System PM definieren lassen. Sei alpha ein beliebiges
Klassenzeichen; mit [alpha; n] bezeichnen wir diejenige Formel, welche
aus dem Klassenzeichen alpha dadurch entsteht, daß man die freie
Variable durch das Zeichen für die natürliche Zahl n ersetzt. [...]
Nun definieren wir eine Klasse K natürlicher Zahlen folgendermaßen:
n eps K == nonBew [R(n); n] (1)
(wobei Bew x bedeutet: x ist eine beweisbare Formel). {{Gödel drückt
die Negation durch Überstreichung aus.}} [...] es gibt ein
Klassenzeichen S, so daß die Formel [S; n] inhaltlich gedeutet besagt,
daß die natürliche Zahl n zu K gehört. S ist als Klassenzeichen mit
einem bestimmten R(q) identisch, d. h. es gilt
S = R(q)
für eine bestimmte natürliche Zahl q. Wir zeigen nun, daß der Satz [R
(q); q] in PM unentscheidbar ist. Denn angenommen der Satz [R(q); q]
wàre beweisbar, dann wàre er auch richtig, d.h. aber nach dem obigen q
würde zu K gehören, d.h. nach (1) es würde nonBew [R(n); n] gelten, im
Widerspruch mit der Annahme. Wàre dagegen die Negation von [R(q); q]
beweisbar, so würde non(n eps K) d. h. Bew [R(q); q] gelten. [R(q); q]
wàre also zugleich mit seiner Negation beweisbar, was wiederum
unmöglich ist.
[Kurt Gödel: "Über formal unentscheidbare Sàtze der Principia
Mathematica und verwandter Systeme I", Monatshefte für Mathematik und
Physik 38 (1931) S.173–198.]

Warum hielt Wittgenstein nichts von Gödels Unvollstàndigkeitssatz?

Gruß, WM
 

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#1 Peter Niessen
07/11/2009 - 00:54 | Warnen spam
Am Fri, 6 Nov 2009 02:53:43 -0800 (PST) schrieb WM:

Warum hielt Wittgenstein nichts von Gödels Unvollstàndigkeitssatz?



Ist das wichtig?
Mit freundlichen Grüssen:
Peter Niessen

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