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Das Kalenderblatt 091110

09/11/2009 - 17:08 von WM | Report spam
Brouwer, in his dissertation, refutes the well-ordering theorem by
pointing out that in the case of the continuum most of the elements
are unknown, and hence cannot be ordered individually - 'So this
matter also turns out to be illusory.' (Diss. p. 153) [...] Examples
of (according to Brouwer) meaningless word play are the second number
class and the higher power sets.
[Dirk Van Dalen: "Mystic, Geometer, and Intuitionist: The Life of
L.E.J. Brouwer", Oxford University Press (2002) 113f]
http://books.google.de/books?q=Myst...ern+suchen

CANTORs unendliche Menge endlicher Zahlen enthàlt einen
Selbstwiderspruch. Das genaue Gegenteil ist richtig. Die Menge der im
Universum realisierbaren natürlichen Zahlen ist endlich, weil maximal
N Ziffern zur Verfügung stehen, aber ihre Elemente können beliebig
groß werden - beschrànkt lediglich durch Mangel an Erfindungsreichtum
oder Interesse; eine prinzipielle Schranke für die Darstellung großer
Zahlen mit endlichem Speicherplatz ist nicht erkennbar. Deswegen
liefern die natürlichen Zahlen bezüglich ihrer Größe - neben der
Ewigkeit und der grenzenlosen Expansion des Universums - das
klassische Beispiel für potentielle Unendlichkeit.
Sie ist kein Heiligtum, kein "ganz besonderer Zustand, in dem andere
Gesetze gelten", wie romantische Rechenkünstler raunen. Das Unendliche
ist jedem profanen Interessenten zugànglich. Wir betreten es schon,
wenn wir nur 1, 2, 3, ... zu zàhlen beginnen. Aber es geht uns nicht
wie Goldmarie, die im Màrchen von Frau Holle in einen Brunnen fàllt
und sich in einem zauberhaften Land mit sprechenden Bàumen und
Backöfen wiederfindet. Wir können zàhlen und zàhlen, wir gelangen zu
größeren und größeren Zahlen, einige müssen wir überspringen, doch
weiter ereignet sich in diesem Prozeß nichts. Um ihn sinnvoll zu
bezeichnen, genügt das von WALLIS eingeführte Symbol oo.
[W. Mückenheim: "Die Geschichte des Unendlichen", 4. Aufl., HS-
Augsburg (2009) 114]
http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Publ1.mht

Gruß, WM
 

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#1 Rainer Rosenthal
09/11/2009 - 18:14 | Warnen spam
WM schrieb:

CANTORs unendliche Menge endlicher Zahlen enthàlt einen
Selbstwiderspruch. Das genaue Gegenteil ist richtig. Die Menge der im
Universum realisierbaren natürlichen Zahlen ist endlich, weil maximal
N Ziffern zur Verfügung stehen, aber ihre Elemente können beliebig
groß werden ...



Es gibt verschiedene Möglichkeiten, aus der aktual unendlichen Menge
der natürlichen Zahlen gewisse Teilmengen zu bilden.
Von diesen (sogar überabzàhlbar vielen) Möglichkeiten ist eine die
von Dir betrachtete Auswahl der "Menge der im Universum realisier-
baren natürlichen Zahlen". Sie ist endlich und somit kleiner als
die Menge aller Primzahlen. Die Primzahlen sind, wohl auch von Dir
unbestritten, ein vornehmer Gegenstand der Mathematik. Dass die
Summe ihrer Reziproken jede endliche Größe übersteigt, geht nur, weil
es nun einmal unendlich viele davon gibt.

Vor einiger Zeit, es war im Juni, hatten wir uns bereits über die
Unterscheidung zwischen "beliebig lang" und "unendlich lang" unterhalten:
http://tinyurl.com/primsprossig
Dabei ging es um die Lànge von Primzahl-Leitern mit konstantem Sprossen-
Abstand. Es steckt knackige Mathematik im Beweis für "beliebig lang",
wàhrend es nahezu trivial ist, "unendlich lang" zu widerlegen.

Es hat mir gar nicht geschmeckt, dass Du den Qualitàtsunterschied der
Beweise nicht für bemerkenswert hieltst. Bemerkt haben wirst Du ihn
aber sicherlich, aber er schmeckt Dir wohl wiederum nicht. Stimmt's?

Gruß,
Rainer Rosenthal

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